『２次関数の最大・最小』に関する問題は頻出です！
数学Ⅰの２次関数の分野だけでなく，他の分野の問題を解く際にも重要になります！
『２次関数の最大・最小』に関する問題が苦手！
『２次関数の最大・最小』に関する問題を基本から学びたい！
という人にオススメの投稿です！
これを見れば，『２次関数の最大・最小からの係数の決定』はバッチリ！
問題
今回の問題はこれ！
平方完成すると $y=(x-1)^2-1+c$ となり、軸は直線 $x=1$
$x=3$ で最大値をとる
このとき、$x=3$ を代入すると $y=(3-1)^2-1+c=3+c$
これが $7$ になるので $3+c=7$ より $c=4$
２次関数の最大・最小に関する問題のポイントをおさえよう！
・軸と定義域の端点の距離を注意してグラフをかく
・どこで最大・最小をとるかを確認する
２次関数の平方完成と軸・頂点
２次関数 $y=ax^2+bx+c$ を $y=a(x-p)^2+q$ に変形することを『平方完成』という。
平方完成して，$y=a(x-p)^2+q$ の形に変形することで，軸が直線 $x=p$，頂点が $(p，q)$ であることがわかる。
軸と頂点は，座標平面における２次関数の位置を表すので，『２次関数の最大・最小』の問題を解く際に重要です。
平方完成の復習はこれ↓
定義域における２次関数の最大・最小
定義域と値域
関数 $y=f(x)$ において
定義域 … 変数 $x$ のとりうる値の範囲
値域 … $x$ が定義域内のすべての値をとるときの $y$ のとりうる値の範囲
グラフを図示するとき，定義域内は実線，定義域外は点線で表すことが多い
定義域における２次関数の最大・最小
※定義域は関数の後ろに（ ）で付けられることが多い
$x=2$ で最大値 $4$，$x=0$ で最小値 $0$
２次関数の最大・最小の問題を解くコツ
シンプルな図をかく
グラフが図示できれば，最大・最小は簡単に求まるね！
グラフをきちんとかけば確実に求まるけど，
もう少しシンプルな図を使って解く方法もあるよ！
$x$ 軸や $y$ 軸をかいていないね！
最大と最小をとる位置がわかればいいから，
・グラフの形（下に凸か上に凸か）
・軸と定義域の位置関係
を図にすればOK！
最大・最小の候補
２次関数に最大値・最小値が存在するとすれば，『頂点』か『定義域の端点』のいずれかでとる。また，放物線は軸に関して対称である。
例えば，下に凸の放物線の場合，関数の値は
軸から遠くなるほど大きくなり，
軸から近くなるほど小さくなる。
上に凸の場合はその逆となる。
・放物線は軸に関して対称
・軸と定義域の端点の距離を注意してグラフをかく
問題のポイント
・軸と定義域の端点の距離を注意してグラフをかく
・どこで最大・最小をとるかを確認する
平方完成すると $y=(x-1)^2-1+c$ となり、軸は直線 $x=1$
$x=3$ で最大値をとる
このとき、$x=3$ を代入すると $y=(3-1)^2-1+c=3+c$
これが $7$ になるので $3+c=7$ より $c=4$
軸と定義域の位置関係から、『$x=□$ で最大値をとるか』を考えることがポイント！
🔵平方完成｜定数が含まれる場合
🔵２次関数のグラフの平行移動・対称移動
🔴軸に定数を含む２次関数の最大・最小の場合分け
🔴定義域の片端に定数を含む２次関数の最大・最小の場合分け
🔴定義域の両端に定数を含む２次関数の最大・最小の場合分け
🔵因数分解形を利用した２次関数の決定
🔵最大・最小からの２次関数の決定
🔵２次関数のグラフと係数の符号
🔰基本…まずはこの記事から！
🔵標準…基本問題や公式の理解度が重要！
🔴応用…場合分けなど思考力が要求される！
コメント