『２次関数の決定』とは
２次関数の軸や頂点や通る点が与えられているとき，その２次関数を求める
という問題のことです！
『２次関数の決定』の問題を解くには，２次関数の『基本形』と『一般形』と『因数分解形』を使い分ける必要があります！
この投稿では，最大・最小に関する条件が与えれている場合の『２次関数の決定』に関する問題を解説しました！
問題
問題
$x=2$ のとき最大値 $3$ をとり，そのグラフが $(1，2)$ を通る２次関数を求めよ。
$x=2$ のとき最大値 $3$ をとるので，求める２次関数は
頂点が $(2，3)$ で上に凸の放物線である
よって $y=a(x-2)^2+3$ ($a<0$) とおくと
$(1，2)$ を通るので $2=a(1-2)^2+3$
これを解いて $a=-1$ （$a<0$ を満たす）
求める２次関数は $y=-(x-2)^2+3$
２次関数の表し方
２次関数の表し方
① $y=ax^2+bx+c$ 【一般形】
② $y=a(x-p)^2+q$ 【基本形】 軸・頂点がわかる式
③ $y=a(x-\alpha)(x-\beta)$ 【因数分解形】 $x$ 軸との共有点がわかる式
② $y=a(x-p)^2+q$ 【基本形】 軸・頂点がわかる式
③ $y=a(x-\alpha)(x-\beta)$ 【因数分解形】 $x$ 軸との共有点がわかる式
基本形 $y=a(x-p)^2+q$
基本形のポイント
軸や頂点が条件として与えられている場合は，基本形 $y=a(x-p)^2+q$ を用いる
一般形 $y=ax^2+bx+c$
一般形のポイント
通る３点が与えられている場合は，一般形 $y=ax^2+bx+c$ を用いる
↓↓【基本形】と【一般形】の解説はこれ↓↓
２次関数の決定｜基本形と一般形
『２次関数の決定』とは
２次関数の軸や頂点や通る点が与えられているとき，
その２次関数を求めるという問題のことです！
『２次関数の決定』の問題を解くには
２次関数の『基本形』と『一般形』を使い分ける必要があります！
この投稿を見れば，『２次関数の決定』の問題は完璧！
enjoy-mathematics.com
2023.07.26
因数分解形 $y=a(x-\alpha)(x-\beta)$
因数分解形のポイント
$x$ 軸との共有点が与えられている場合は，因数分解形 $y=a(x-\alpha)(x-\beta)$ を用いる
↓↓【因数分解形】の解説はこれ↓↓
２次関数の決定｜因数分解形
『２次関数の決定』とは，２次関数の軸や頂点や通る点が与えられているとき，その２次関数を求めるという問題のことです！
『２次関数の決定』の問題を解く際に，２次関数の『因数分解形』を知っていると便利な場合があります！
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2023.07.26
最大・最小からの２次関数の決定
ポイント
最大・最小が与えられている場合は、頂点とグラフの形（下に凸か上に凸か）が定まる
頂点に関する条件により、基本形 $y=a(x-p)^2+q$ を利用して解く
頂点に関する条件により、基本形 $y=a(x-p)^2+q$ を利用して解く
例
① $x=2$ のとき最小値 $1$ をとる → 下に凸で頂点が $(2，1)$
② $x=2$ のとき最大値 $3$ をとる → 上に凸で頂点が $(2，3)$
② $x=2$ のとき最大値 $3$ をとる → 上に凸で頂点が $(2，3)$
復習
問題
$x=2$ のとき最大値 $3$ をとり，そのグラフが $(1，2)$ を通る２次関数を求めよ。
解答
$x=2$ のとき最大値 $3$ をとるので，求める２次関数は
頂点が $(2，3)$ で上に凸の放物線である
よって $y=a(x-2)^2+3$ ($a<0$) とおくと
$(1，2)$ を通るので $2=a(1-2)^2+3$
これを解いて $a=-1$ （$a<0$ を満たす）
求める２次関数は $y=-(x-2)^2+3$
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