高校数学Ⅱで学ぶ『３次方程式の解と係数の関係』をわかりやすく解説しました！
２次方程式の解と係数の関係と合わせて知っておきたい公式の１つです！
この投稿を見れば、３次方程式の解と係数の関係についてバッチリ理解できます！
３次方程式の解と係数の関係
「２次方程式の解と係数の関係」があるように、「３次方程式の解と係数の関係」があります。
$\displaystyle{\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}}$
$\displaystyle{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a}}$
$\displaystyle{\alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}}$
証明
３次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の３つの解を $\alpha$，$\beta$，$\gamma$ のとき
等式 $ax^3+bx^2+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ が恒等式となる
ここで $(右辺)=a\{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\}(x-\gamma)$
$=a\{x^3-(\alpha+\beta)x^2+\alpha\beta x-\gamma x^2+(\alpha+\beta)\gamma x-\alpha\beta\gamma\}$
$=ax^3-a(\alpha+\beta+\gamma)x^2+a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-a\alpha\beta\gamma$
左辺の係数と比較すると
$b=-a(\alpha+\beta+\gamma)$
$c=a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)$
$d=-a\alpha\beta\gamma$
$a≠0$ より
$\displaystyle{\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}}$
$\displaystyle{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a}}$
$\displaystyle{\alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}}$
３次方程式の解と係数の関係を用いる問題
(1) $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$
(2) $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3$
(3) $2(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)$
(1) $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$ より
$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)$
(2) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ より
$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc$
(3) $\alpha$，$\beta$，$\gamma$ は与えられた３次方程式の解なので
$2x^3+3x^2+4x-5=2(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$
３次方程式の解と係数の関係より
$\displaystyle{\alpha+\beta+\gamma=-\frac{3}{2}}$，$\displaystyle{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=2}$，$\displaystyle{\alpha\beta\gamma=\frac{5}{2}}$
(1) $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$
$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$
$=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)$
$\displaystyle{=\left(-\frac{3}{2}\right)^2-2\cdot2}$
$\displaystyle{=-\frac{7}{4}}$
(2) $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3$
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3$
$=(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)+3\alpha\beta\gamma$
$\displaystyle{=-\frac{3}{2}\left\{\left(-\frac{7}{4}\right)-2\right\}+3\cdot\frac{5}{2}}$
$\displaystyle{=-\frac{3}{2}\cdot\left(-\frac{15}{4}\right)+\frac{15}{2}}$
$\displaystyle{=\frac{105}{8}}$
(3) $2(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)$
$2x^3+3x^2+4x-5=2(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$
これに $x=1$ を代入して
$2\cdot1^3+3\cdot1^2+4\cdot1-5=2(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)$
よって $2(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)=4$
３数を解にもつ３次方程式
$x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma=0$
【証明】
３数 $\alpha$，$\beta$，$\gamma$ を解にもつ３次方程式の１つは
$(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0$
すなわち
$x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma=0$
$2+(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=$$6$
$2(2+\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})2=$$9$
$2(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=$$2$
求める３次方程式は $x^3-$$6$$x^2+$$9$$x-$$2$$=0$
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