４次方程式の解法

$P(x)=2x^4-3x^3+7x^2+7x-5$ とすると
$P(-1)=0$ より，$P(x)$ は $x+1$ を因数にもつ
　　$P(x)=(x+1)(2x^3-5x^2+12x-5)$

$Q(x)=2x^3-5x^2+12x-5$ とすると
${\displaystyle Q\left(\frac{1}{2}\right)=0}$ より，$Q(x)$ は ${\displaystyle x-\frac{1}{2}}$ を因数にもつ
　　${\displaystyle Q(x)=(x-\frac{1}{2})(2x^2-4x+10)}$
　　　　　$=(2x-1)(x^2-2x+5)$

よって　　$P(x)=(x+1)(2x-1)(x^2-2x+5)$
$P(x)=0$ より　　$(x+1)(2x-1)(x^2-2x+5)=0$
　　　　　　　　$x+1=$ または $2x-1=0$ または $x^2-2x+5=0$
したがって　　${\displaystyle x=1，\frac{1}{2}，1\pm 2i}$

(1)　$x^4-2x^2-3=0$
　　$(x^2-3)(x^2+1)=0$
　　$x^2-3=0$　または　$x^2+1=0$
　したがって　　$x=\pm \sqrt{3}，\pm i$

【補足】
　$x^2=X$ とおくと
　　　$X^2-2X-3=0$
　　　$(X-3)(X+1)=0$

(2)　$x^4+x^2+1=0$
　　$(x^4+2x^2+1)-x^2=0$
　　$(x^2+1{)}^2-x^2=0$
　　$\{(x^2+1)+x\}\{(x^2+1)-x\}=0$
　　$(x^2+x+1)(x^2-x+1)=0$
　　$x^2+x+1=0$　または　$x^2-x+1=0$
　$x^2+x+1=0$ より　　${\displaystyle x=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}}$
　$x^2-x+1=0$ より　　${\displaystyle x=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}}$
　よって　　${\displaystyle x=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}，\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}}$

【補足】
　$x^2$ を足して、引く
　➡ $(○{)}^2-(\square {)}^2$ の形
　➡ $(○+\square )(○-\square )$ に変形

(3)　$x^4+4=0$
　　$(x^4+4x^2+4)-4x^2=0$
　　$(x^2+2{)}^2-(2x{)}^2=0$
　　$\{(x^2+2)+2x\}\{(x^2+2)-2x\}=0$
　　$(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)=0$
　　$x^2+2x+2=0$　または　$x^2-2x+2=0$
　$x^2+2x+2=$ より　　$x=-1\pm i$
　$x^2-2x+2=$ より　　$x=1\pm i$
　よって　　$x=-1\pm i，1\pm i$

【補足】
　$4x^2$ を足して、引く
　➡ $(○{)}^2-(\square {)}^2$ の形
　➡ $(○+\square )(○-\square )$ に変形

　　$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=3$
　　$\{(x+1)(x+4)\}\{(x+2)(x+3)\}-3=0$
　　$(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)-3=0$
　　$(x^2+5x{)}^2+10(x^2+5x)+24-3=0$
　　$(x^2+5x{)}^2+10(x^2+5x)+21=0$
　　$\{(x^2+5x)+3\}\{(x^2+5x)+7\}=0$
　　$(x^2+5x+3)(x^2+5x+7)=0$
　　$x^2+5x+3=0$　または　$x^2+5x+7=0$
$x^2+5x+3=0$ より　　${\displaystyle x=\frac{-5\pm \sqrt{13}}{2}}$
$x^2+5x+7=0$ より　　${\displaystyle x=\frac{-5\pm \sqrt{3}i}{2}}$
よって　　${\displaystyle x=\frac{-5\pm \sqrt{13}}{2}，\frac{-5\pm \sqrt{3}i}{2}}$

【補足】
組み合わせを考える
➡ $x^2+5x$ が共通
$x^2+5x=A$ とおくと
　$(A+4)(A+6)-3=0$
　$A^2+10A+24-3=0$
　$A^2+10A+21=0$
　$(A+3)(A+7)=0$