2021年度共通テスト数学ⅠAの第１問「数と式」の問題の解説！
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問題
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第１問
[1] $c$ を正の整数とする。$x$ の $2$ 次方程式
$2x^2+(4c-3)x+2c^2-c-11=0$ $\cdots\cdots$ ①
について考える。
(1) $c=1$ のとき，①の左辺を因数分解すると
$(\boxed{\mathbf{ ア }}x+\boxed{\mathbf{ イ }})(x-\boxed{\mathbf{ ウ }})$
であるから，①の解は
$\displaystyle{x=-\frac{\boxed{\mathbf{ イ }}}{\boxed{\mathbf{ ア }}}，\boxed{\mathbf{ ウ }}}$
である。
(2) $c=2$ のとき，①の解は
$\displaystyle{x=\frac{-\boxed{\mathbf{ エ }}±\sqrt{\boxed{\mathbf{ オカ }}}}{\boxed{\mathbf{ キ }}}}$
であり，大きい方の解を $\alpha$ とすると
$\displaystyle{\frac{5}{\alpha}=\frac{\boxed{\mathbf{ ク }}+\sqrt{\boxed{\mathbf{ ケコ }}}}{\boxed{\mathbf{ サ }}}}$
である。また，$\displaystyle{m < \frac{5}{\alpha} < m+1}$ を満たす整数 $m$ は $\boxed{\mathbf{ シ }}$ である。
(3) 太郎さんと花子さんは，①の解について考察している。
太郎：①の解は $c$ の値によって，ともに有理数である場合もあれば，ともに無理数である場合もあるね。$c$ がどのような値のときに，解は有理数になるのかな。
花子：$2$ 次方程式の解の公式の根号の中に着目すればいいんじゃないかな。
①の解が異なる二つの有理数であるような正の整数 $c$ の個数は $\boxed{\mathbf{ シ }}$ 個である。
解答と解説
(1)
第１問
[1] $c$ を正の定数とする。$x$ の $2$ 次方程式
$2x^2+(4c-3)x+2c^2-c-11=0$ $\cdots\cdots$ ①
について考える。
(1) $c=1$ のとき，①の左辺を因数分解すると
$(\boxed{\mathbf{ ア }}x+\boxed{\mathbf{ イ }})(x-\boxed{\mathbf{ ウ }})$
であるから，①の解は
$\displaystyle{x=-\frac{\boxed{\mathbf{ イ }}}{\boxed{\mathbf{ ア }}}，\boxed{\mathbf{ ウ }}}$
である。
$c=1$ を①に代入すると
\begin{eqnarray} 2x^2+x-10 &=& 0 \\\\ (2x+5)(x-2) &=& 0 \\\\ x &=& -\frac{5}{2}，2 \end{eqnarray}
$c$ の値を代入して，たすき掛けの因数分解ができれば解ける！
(2)
[1] $c$ を正の整数とする。$x$ の $2$ 次方程式
$2x^2+(4c-3)x+2c^2-c-11=0$ $\cdots\cdots$ ①
について考える。
(2) $c=2$ のとき，①の解は
$\displaystyle{x=\frac{-\boxed{\mathbf{ エ }}±\sqrt{\boxed{\mathbf{ オカ }}}}{\boxed{\mathbf{ キ }}}}$
であり，大きい方の解を $\alpha$ とすると
$\displaystyle{\frac{5}{\alpha}=\frac{\boxed{\mathbf{ ク }}+\sqrt{\boxed{\mathbf{ ケコ }}}}{\boxed{\mathbf{ サ }}}}$
である。また，$\displaystyle{m < \frac{5}{\alpha} < m+1}$ を満たす整数 $m$ は $\boxed{\mathbf{ シ }}$ である。
$c=2$ を①に代入すると
\begin{eqnarray} 2x^2+5x-5 &=& 0 \\\\ x &=& \frac{-5±\sqrt{(-5)^2-4\cdot2\cdot(-5)}}{2\cdot2} \\\\ x &=& \frac{-5±\sqrt{65}}{4} \end{eqnarray}大きい方の解を $\alpha$ とすると
$\displaystyle{\alpha=\frac{-5+\sqrt{65}}{4}}$
これより，
\begin{eqnarray} \frac{5}{\alpha} &=& 5\cdot\frac{1}{\alpha} \\\\ &=& 5\cdot\frac{4}{-5+\sqrt{65}} \\\\ &=& \frac{20}{\sqrt{65}-5} \\\\ &=& \frac{20(\sqrt{65}+5)}{(\sqrt{65}-5)(\sqrt{65}+5)} \\\\ &=& \frac{20(\sqrt{65}+5)}{65-25} \\\\ &=& \frac{20(\sqrt{65}+5)}{40} \\\\ &=& \frac{\sqrt{65}+5}{2} \end{eqnarray}
$\displaystyle{\frac{5}{\alpha}=\frac{5+\sqrt{65}}{2}}$ の整数部分を求める
$\sqrt{64} < \sqrt{65} < \sqrt{81}$
$8 < \sqrt{65} < 9$
$\displaystyle{\frac{5+8}{2} < \frac{5+\sqrt{65}}{2} < \frac{5+9}{2}}$
$\displaystyle{6.5 < \frac{5+\sqrt{65}}{2} < 7}$
すなわち，
$\displaystyle{6 < \frac{5+\sqrt{65}}{2} < 7}$
$\displaystyle{m < \frac{5}{\alpha} < m+1}$ を満たす整数 $m$ は $6$ である
整数部分の求め方を詳しく学びたい人はこれ↓
(3)
[1] $c$ を正の整数とする。$x$ の $2$ 次方程式
$2x^2+(4c-3)x+2c^2-c-11=0$ $\cdots\cdots$ ①
について考える。
(3) 太郎さんと花子さんは，①の解について考察している。
太郎：①の解は $c$ の値によって，ともに有理数である場合もあれば，ともに無理数である場合もあるね。$c$ がどのような値のときに，解は有理数になるのかな。
花子：$2$ 次方程式の解の公式の根号の中に着目すればいいんじゃないかな。
①の解が異なる二つの有理数であるような正の整数 $c$ の個数は $\boxed{\mathbf{ シ }}$ 個である。
$2x^2+(4c-3)x+2c^2-c-11=0$
に解の公式を用いると
\begin{eqnarray} x &=& \frac{-(4c-3)±\sqrt{(4c-3)^2-4\cdot2\cdot(2c^2-c-11)}}{2\cdot2} \\\\ &=& \frac{-(4c-3)±\sqrt{-16c+97}}{4} \end{eqnarray}
この $2$ 解が有理数になるのは，根号内の $-16c+97$ が平方数になるとき
根号の中は正なので，
$-16c+97>0$
$\displaystyle{c<\frac{97}{16}=6+\frac{1}{16}}$
であり，$c$ は正の整数なので
$c=1，2，3，4，5，6$
$c=1$ のとき $-16\cdot1+97=81=9^2$
$c=2$ のとき $-16\cdot2+97=65$
$c=3$ のとき $-16\cdot3+97=49=7^2$
$c=4$ のとき $-16\cdot4+97=33$
$c=5$ のとき $-16\cdot5+97=17$
$c=6$ のとき $-16\cdot6+97=1=1^2$
したがって，$-16c+97$ が平方数になるのは
$c=1，3，6$ の $3$ 個
有理数や無理数についてはこれ↓
問題で問われている力
- 因数分解
- $2$ 次方程式を解く
- 分母の有理化
- 整数部分を求める
- 有理数と無理数がどのような数か分かる
- 根号の性質
2021年度共通テストの大問
2021年度共通テスト数学ⅠA
- 第１問【１】数と式
- 第１問【２】図形と計量
- 第２問【１】２次関数
- 第２問【２】データの分析
- 第３問 場合の数と確率
- 第４問 整数の性質
- 第５問 図形の性質
2021年度共通テスト数学ⅡB
- 第１問【１】三角関数
- 第１問【２】指数関数・対数関数
- 第２問 微分法・積分法
- 第３問 確率分布と統計的な推測
- 第４問 数列
- 第５問 ベクトル
対策すれば必ず解ける！
解けなかった問題はしっかり対策しよう！
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