2021年 共通テストⅠA 第２問 [1] ２次関数

第２問

[1]　陸上競技の短期距離 $100$ m 走では，$100$ m を走るのにかかる時間（以下，タイムと呼ぶ）は，$1$ 歩あたりの進む距離（以下，ストライドと呼ぶ）と $1$ 秒あたりの歩数（以下，ピッチと呼ぶ）に関係がある。ストライドとピッチはそれぞれ以下の式で与えられる。

\begin{eqnarray} ストライド(m/歩) = \frac{100(m)}{100 m を走るのにかかった歩数(歩)} \\\\ ピッチ(歩/秒) = \frac{100 m を走るのにかかった歩数(歩)}{タイム(秒)} \end{eqnarray}

　　ただし，$100$ m を走るのにかかった歩数は,最後の $1$ 歩がゴールラインをまたぐこともあるので，小数で表される。以下，単位は必要ない限り省略する。
　例えば，タイムが $10.81$ で，そのときの歩数が $48.5$ であったとき，ストライドは $\displaystyle{\frac{100}{48.5}}$ より約 $2.06$，ピッチは $\displaystyle{\frac{48.5}{10.81}}$ より約 $4.49$ である。

(1)　ストライドを $x$，ピッチを $z$ とおく。ピッチは $1$ 歩あたりの歩数，ストライドは $1$ 歩あたりの進む距離なので，$1$ 秒あたりの進む距離すなわち平均速度は，$x$ と $z$ を用いて $\boxed{\mathbf{　ア　}}$ (m/秒) と表される。
　これより，タイムと，ストライド，ピッチとの関係は

　　　タイム $\displaystyle{=\frac{100}{\boxed{\mathbf{　ア　}}}}$　　$\cdots\cdots\cdots$　(Ⅰ)

と表されるので，$\boxed{\mathbf{　ア　}}$ が最大になるときにタイムが最もよくなる。ただし，タイムがよくなるとは，タイムの値が小さくなることである。

　　$\boxed{\mathbf{　ア　}}$ の解答群

　　　⓪　$x+z$　　　　　①　$z-x$　　　　　②　$xz$

　　　③　$\displaystyle{\frac{x+z}{2}}$　　　　④　$\displaystyle{\frac{z-x}{2}}$　　　　⑤　$\displaystyle{\frac{xz}{2}}$

(2)　男子短距離 $100$ m 走の選手である太郎さんは，(Ⅰ) に着目して，タイムが最もよくなるストライドとピッチを考えることにした。
　次の表は，太郎さんが練習で $100$ m を $3$ 回走ったときのストライドとピッチのデータである。

　　　また，ストライドとピッチにはそれぞれ限界がある。太郎さんの場合，ストライドの最大値は $2.40$，ピッチの最大値は $4.80$ である。
　太郎さんは，上の表から，ストライドが $0.05$ 大きくなるとピッチが $0.1$ 小さくなるという関係があると考えて，ピッチがストライドの $1$ 次関数として表されると仮定した。このとき，ピッチ $z$ はストライド $x$ を用いて

　　　　$\displaystyle{z=\boxed{\mathbf{ イウ }}x+\frac{\boxed{\mathbf{ エオ }}}{5}}$　$\cdots\cdots\cdots$　(Ⅱ)

　　と表される。
　(Ⅱ)が太郎さんのストライドの最大値 $2.40$ とピッチの最大値 $4.80$ まで成り立つと仮定すると，$x$ の値の範囲は次のようになる。

　　　　$\boxed{\mathbf{ カ }}.\boxed{\mathbf{ キク }} ≦ x ≦ 2.40$

　　　$y=\boxed{\mathbf{　ア　}}$ とおく。(Ⅱ)を $y=\boxed{\mathbf{　ア　}}$ に代入することにより，$y$ を $x$ の関数として表すことができる。太郎さんのタイムが最もよくなるストライドとピッチを求めるには，$\boxed{\mathbf{ カ }}.\boxed{\mathbf{ キク }} ≦ x ≦ 2.40$ の範囲で $y$ の値を最大にする $x$ の値を見つければよい。このとき，$y$ の値が最大になるのは $x=\boxed{\mathbf{ ケ }}.\boxed{\mathbf{ コサ }}$ のときである。
　よって，太郎さんのタイムが最もよくなるのは，ストライドが $\boxed{\mathbf{ ケ }}.\boxed{\mathbf{ コサ }}$ のときであり，このとき，ピッチは $\boxed{\mathbf{ シ }}.\boxed{\mathbf{ スセ }}$ である。また，このときの太郎さんのタイムは，(Ⅰ)により $\boxed{\mathbf{　ソ　}}$ である。

　　$\boxed{\mathbf{　ソ　}}$ については，最も適当なものを，次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。

　　　⓪　$9.68$　　　　①　$9.97$　　　　②　$10.09$
　③　$10.33$　　　　④　$10.42$　　　　⑤　$10.55$

[1]　陸上競技の短期距離 $100$ m 走では，$100$ m を走るのにかかる時間（以下，タイムと呼ぶ）は，$1$ 歩あたりの進む距離（以下，ストライドと呼ぶ）と $1$ 秒あたりの歩数（以下，ピッチと呼ぶ）に関係がある。ストライドとピッチはそれぞれ以下の式で与えられる。

\begin{eqnarray} ストライド(m/歩) = \frac{100(m)}{100 m を走るのにかかった歩数(歩)} \\\\ ピッチ(歩/秒) = \frac{100 m を走るのにかかった歩数(歩)}{タイム(秒)} \end{eqnarray}

　　ただし，$100$ m を走るのにかかった歩数は,最後の $1$ 歩がゴールラインをまたぐこともあるので，小数で表される。以下，単位は必要ない限り省略する。
　例えば，タイムが $10.81$ で，そのときの歩数が $48.5$ であったとき，ストライドは $\displaystyle{\frac{100}{48.5}}$ より約 $2.06$，ピッチは $\displaystyle{\frac{48.5}{10.81}}$ より約 $4.49$ である。

(1)　ストライドを $x$，ピッチを $z$ とおく。ピッチは $1$ 歩あたりの歩数，ストライドは $1$ 歩あたりの進む距離なので，$1$ 秒あたりの進む距離すなわち平均速度は，$x$ と $z$ を用いて $\boxed{\mathbf{　ア　}}$ (m/秒) と表される。
　これより，タイムと，ストライド，ピッチとの関係は

　　　タイム $\displaystyle{=\frac{100}{\boxed{\mathbf{　ア　}}}}$　　$\cdots\cdots\cdots$　(Ⅰ)

と表されるので，$\boxed{\mathbf{　ア　}}$ が最大になるときにタイムが最もよくなる。ただし，タイムがよくなるとは，タイムの値が小さくなることである。

　　$\boxed{\mathbf{　ア　}}$ の解答群

　　　⓪　$x+z$　　　　　①　$z-x$　　　　　②　$xz$

　　　③　$\displaystyle{\frac{x+z}{2}}$　　　　④　$\displaystyle{\frac{z-x}{2}}$　　　　⑤　$\displaystyle{\frac{xz}{2}}$

(2)　男子短距離 $100$ m 走の選手である太郎さんは，(Ⅰ) に着目して，タイムが最もよくなるストライドとピッチを考えることにした。
　次の表は，太郎さんが練習で $100$ m を $3$ 回走ったときのストライドとピッチのデータである。

　　　また，ストライドとピッチにはそれぞれ限界がある。太郎さんの場合，ストライドの最大値は $2.40$，ピッチの最大値は $4.80$ である。
　太郎さんは，上の表から，ストライドが $0.05$ 大きくなるとピッチが $0.1$ 小さくなるという関係があると考えて，ピッチがストライドの $1$ 次関数として表されると仮定した。このとき，ピッチ $z$ はストライド $x$ を用いて

　　　　$\displaystyle{z=\boxed{\mathbf{ イウ }}x+\frac{\boxed{\mathbf{ エオ }}}{5}}$　$\cdots\cdots\cdots$　(Ⅱ)

　　と表される。
　(Ⅱ)が太郎さんのストライドの最大値 $2.40$ とピッチの最大値 $4.80$ まで成り立つと仮定すると，$x$ の値の範囲は次のようになる。

　　　　$\boxed{\mathbf{ カ }}.\boxed{\mathbf{ キク }} ≦ x ≦ 2.40$

　　　$y=\boxed{\mathbf{　ア　}}$ とおく。(Ⅱ)を $y=\boxed{\mathbf{　ア　}}$ に代入することにより，$y$ を $x$ の関数として表すことができる。太郎さんのタイムが最もよくなるストライドとピッチを求めるには，$\boxed{\mathbf{ カ }}.\boxed{\mathbf{ キク }} ≦ x ≦ 2.40$ の範囲で $y$ の値を最大にする $x$ の値を見つければよい。このとき，$y$ の値が最大になるのは $x=\boxed{\mathbf{ ケ }}.\boxed{\mathbf{ コサ }}$ のときである。
　よって，太郎さんのタイムが最もよくなるのは，ストライドが $\boxed{\mathbf{ ケ }}.\boxed{\mathbf{ コサ }}$ のときであり，このとき，ピッチは $\boxed{\mathbf{ シ }}.\boxed{\mathbf{ スセ }}$ である。また，このときの太郎さんのタイムは，(Ⅰ)により $\boxed{\mathbf{　ソ　}}$ である。

　　$\boxed{\mathbf{　ソ　}}$ については，最も適当なものを，次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。

　　　⓪　$9.68$　　　　①　$9.97$　　　　②　$10.09$
　③　$10.33$　　　　④　$10.42$　　　　⑤　$10.55$