異なる２つの正の解・負の解・異符号の解をもつ場合の解き方を解説！

高校数学Ⅰの２次関数の応用問題の１つである

２次方程式が異なる２つの正の解をもつ
２次方程式が異なる２つの負の解をもつ
２次方程式が符号の異なる２つの解をもつ

という問題をわかりやすく解説しました！

ポイントは、『判別式・軸の位置・端点の $y$ 座標』に着目すること！

２次関数の図をかいて、それぞれの条件を整理すれば必ず解けます！

問題
２次方程式が異なる２つの正の解をもつ
２次方程式が異なる２つの負の解をもつ
２次方程式が符号の異なる２つの解をもつ

問題

(1)　２次方程式

x^{2} - 2 a x - a + 2 = 0

が異なる２つの正の解をもつときの

a

の値の範囲を求めよ。
(2)　２次方程式

x^{2} - 2 a x - a + 2 = 0

が異なる２つの負の解をもつときの

a

の値の範囲を求めよ。
(3)　２次方程式

x^{2} - 2 a x - a + 2 = 0

が符号の異なる２つの解をもつときの

a

の値の範囲を求めよ。

(1)
$f (x) = x^{2} - 2 a x - a + 2$ とおくと
方程式 $f (x) = 0$ が異なる２つの正の解をもつための条件は $y = f (x)$ のグラフが $x$ 軸の正の部分と異なる２つの共有点をもつことである
よって，次の [1]～[3] がすべて成り立つ

[1]　 $x$ 軸と異なる２つの共有点をもつ
　 $f (x) = 0$ の判別式を $D$ とすると
　　　 $\frac{D}{4} = a^{2} - (- a + 2) = (a - 1) (a + 2)$
　 $D > 0$ より　　 $a < - 2$ ， $1 < a$ 　…　①

[2]　軸が $x > 0$ の部分にある
　 $y = f (x)$ の軸は直線 $x = a$ であるから　 $a > 0$ 　…　②

[3]　 $x = 0$ における $y$ 座標が正
　 $f (0) > 0$ であるから　 $f (0) = - a + 2 > 0$
　よって　 $a < 2$ 　…　③

①～③の共通範囲をとって　　 $1 < a < 2$

(2)
$f (x) = x^{2} - 2 a x - a + 2$ とおくと
方程式 $f (x) = 0$ が異なる２つの負の解をもつための条件は $y = f (x)$ のグラフが $x$ 軸の負の部分と異なる２つの共有点をもつことである
よって，次の [1]～[3] がすべて成り立つ

[2]　軸が $x < 0$ の部分にある
　 $y = f (x)$ の軸は直線 $x = a$ であるから　 $a < 0$ 　…　②

[3]　 $x = 0$ における $y$ 座標が正
　 $f (0) > 0$ であるから　 $f (0) = - a + 2 > 0$
　よって　 $a < 2$ 　…　③

①～③の共通範囲をとって　　 $a < - 2$

(3)
$f (x) = x^{2} - 2 a x - a + 2$ とおくと
方程式 $f (x) = 0$ が異符号の解をもつための条件は $y = f (x)$ のグラフが $x$ 軸の正の部分と負の部分で共有点をもつことである
すなわち　　 $x = 0$ における $y$ 座標が負
$f (0) < 0$ であるから　 $f (0) = - a + 2 < 0$
よって　　　 $a > 2$

答えを見る

２次方程式が異なる２つの正の解をもつ

２次方程式が異なる２つの正の解をもつときの条件

２次方程式 $f (x) = 0$ が異なる２つの正の解をもつ
$⟺$ 　２次関数 $y = f (x)$ が $x$ 軸の正の部分と異なる２つの共有点をもつ

[1]　 $D > 0$ 　　← $x$ 軸と異なる２つの共有点
[2]　軸 $> 0$ 　　← 軸が $x > 0$ の部分にある
[3]　 $f (0) > 0$ 　　← $x = 0$ における $y$ 座標が正

[1]判別式・[2]軸の位置・[3]端点の $y$ 座標に着目する

『判・軸・端』に着目しよう！

問題

(1)　２次方程式

x^{2} - 2 a x - a + 2 = 0

が異なる２つの正の解をもつときの

a

の値の範囲を求めよ。

解説

[1]　 $x$ 軸と異なる２つの共有点をもつ（判別式）
　 $f (x) = 0$ の判別式を $D$ とすると
　　　 $\frac{D}{4} = a^{2} - (- a + 2) = (a - 1) (a + 2)$
　 $D > 0$ より　　 $a < - 2$ ， $1 < a$ 　…　①

[2]　軸が $x > 0$ の部分にある（軸の位置）
　 $y = f (x)$ の軸は直線 $x = a$ であるから　 $a > 0$ 　…　②

[3]　 $x = 0$ における $y$ 座標が正（端点の $y$ 座標）
　 $f (0) > 0$ であるから　 $f (0) = - a + 2 > 0$
　よって　 $a < 2$ 　…　③

①～③の共通範囲をとって　　 $1 < a < 2$

２次方程式が異なる２つの負の解をもつ

２次方程式が異なる２つの負の解をもつときの条件

２次方程式 $f (x) = 0$ が異なる２つの負の解をもつ
$⟺$ 　２次関数 $y = f (x)$ が $x$ 軸の負の部分と異なる２つの共有点をもつ

[1]　 $D > 0$ 　　← $x$ 軸と異なる２つの共有点
[2]　軸 $< 0$ 　　← 軸が $x < 0$ の部分にある
[3]　 $f (0) > 0$ 　　← $x = 0$ における $y$ 座標が正

[1]判別式・[2]軸の位置・[3]端点の $y$ 座標に着目する

『異なる２つの正の解をもつ条件』と比べると、

軸の条件が違うだけだね！

問題

(2)　２次方程式

x^{2} - 2 a x - a + 2 = 0

が異なる２つの負の解をもつときの

a

の値の範囲を求めよ。

解説

[2]　軸が $x < 0$ の部分にある（軸の位置）
　 $y = f (x)$ の軸は直線 $x = a$ であるから　 $a < 0$ 　…　②

[3]　 $x = 0$ における $y$ 座標が正（端点の $y$ 座標）
　 $f (0) > 0$ であるから　 $f (0) = - a + 2 > 0$
　よって　 $a < 2$ 　…　③

①～③の共通範囲をとって　　 $a < - 2$

２次方程式が符号の異なる２つの解をもつ

２次方程式が符号が異なる２つの解をもつときの条件

２次方程式 $f (x) = 0$ が符号が異なる２つの解をもつ
$⟺$ 　２次関数 $y = f (x)$ が $x$ 軸の正の部分と負の部分で共有点をもつ

[3]　 $f (0) < 0$ 　　← $x = 0$ における $y$ 座標が負

端点の $y$ 座標に着目する

※[1] 判別式と [2] 軸の位置は必要ない

問題

(3)　２次方程式

x^{2} - 2 a x - a + 2 = 0

が符号の異なる２つの解をもつときの

a

の値の範囲を求めよ。

解説

(3)
$f (x) = x^{2} - 2 a x - a + 2$ とおくと
方程式 $f (x) = 0$ が異符号の解をもつための条件は $y = f (x)$ のグラフが $x$ 軸の正の部分と負の部分で共有点をもつことである
すなわち　　 $x = 0$ における $y$ 座標が負（端点の $y$ 座標）
$f (0) < 0$ であるから　 $f (0) = - a + 2 < 0$
よって　　　 $a > 2$