２次関数のグラフと係数の符号に関する問題をわかりやすく解説！

高校数学Ⅰの２次関数の応用問題である『２次関数のグラフと係数の符号』に関する問題の解説です！

２次関数のグラフに関する基本が定着していれば、簡単に解くことができます！

問題

次の図は２次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフである。このとき，次の値は正，0，負のいずれになるか。
(1)　$a$
(2)　$b$
(3)　$c$
(4)　$b^2-4ac$
(5)　$a+b+c$
(6)　$a-b+c$

(1)　$a$ の正負 ➡ 　上に凸か下に凸か
　　グラフは上に凸なので $a$ は負

(2)　$b$ の正負　➡　軸 $\displaystyle{x=-\frac{b}{2a}}$ の位置
　　軸 $\displaystyle{-\frac{b}{2a}}$ は負で $a$ は負なので $b$ は負

(3)　$c$ の正負　➡　$y$ 軸との交点の座標
　　グラフは $y$ 軸と正の部分で交わるので $c$ は正

(4)　$b^2-4ac$ の正負　➡　グラフと $x$ 軸の共有点の個数
　　$b^2-4ac$ は判別式 $D$ で、異なる２点で交わっているので $b^2-4ac$ は正

(5)　$a+b+c$ の正負　➡　$x=1$ のときの $y$ 座標
　　グラフは $x=1$ のとき $x$ 軸より下なので $a+b+c$ は負

(6)　$a-b+c$ の正負　➡　$x=-1$ のときの $y$ 座標
　　グラフは $x=-1$ のとき $x$ 軸より上なので $a+b+c$ は正

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$a$ の符号は、グラフの形（下に凸か上に凸か）で決まる

今回の問題は、

下に凸なので、$a$ は負である

$b$ の符号は、軸 $\displaystyle{x=-\frac{b}{2a}}$ の位置（符号）と $a$ の符号で決まる

＜補足＞

$y=ax^2+bx+c$ を平方完成すると　　$\displaystyle{y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}}$

となるので、軸は　$\displaystyle{x=-\frac{b}{2a}}$

今回の問題は、

軸の位置が $y$ 軸より左側であることから、軸は負
すなわち　　$\displaystyle{-\frac{b}{2a}}$ は負

$a$ が負であることから、次のように考えられる

$a$ が負なので、$\displaystyle{-\frac{b}{2a}}$ が負になるように $b$ の符号を考えると

$b$ は負である

$c$ の符号は、$y$ 軸との交点の座標で決まる

今回の問題は、

グラフと $y$ 軸の交点の座標は正なので、$c$ は正である

$b^2-4ac$ (判別式 $D$) の符号は、$x$ 軸との共有点の個数で決まる

今回の問題は、

グラフと $x$ 軸の共有点の個数は２個なので、$b^2-4ac$ は正である

$a+b+c$ の符号は、$x=1$ のときの $y$ 座標で決まる

$y=ax^2+bx+c$ に $x=1$ を代入すると、$y=a+b+c$ である

今回の問題は、

$x=1$ のときの $y$ 座標が負なので、$a+b+c$ は負である

$a-b+c$ の符号は、$x=-1$ のときの $y$ 座標で決まる

$y=ax^2+bx+c$ に $x=-1$ を代入すると、$y=a-b+c$ である

今回の問題は、

$x=-1$ のときの $y$ 座標が正なので、$a-b+c$ は正である

$a$ の符号	グラフの形（下に凸か上に凸か）
$b$ の符号	軸の位置（軸 $\displaystyle{-\frac{b}{2a}}$ の符号と $a$ の符号）
$c$ の符号	$y$ 軸との交点の座標
$b^2-4ac$ の符号	グラフと $x$ 軸の共有点の個数（$b^2-4ac$ は判別式 $D$）
$a+b+c$ の符号	$x=1$ のときの $y$ 座標
$a-b+c$ の符号	$x=-1$ のときの $y$ 座標