高校数学Ⅱで学ぶ『条件付きの等式の証明』の方法をわかりやすく解説！
証明と聞くと、反射的に苦手と感じる人も多いはず！
しかし、証明方法を理解して解くことで必ず解けるようになります！
この投稿を見れば、条件付きの等式の証明はバッチリ！
(1) $a+b+c=0$ のとき，$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=-3abc$
(2) $\displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{c}{d}}$ のとき，$\displaystyle{\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}}$
＜解答のポイント＞
(1) $a+b+c=0$ を $c=-a-b$ と式変形して代入することで文字を減らす
【別解】$a+b=-c$，$b+c=-a$，$c+a=-b$ として代入する
(2) $\displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{c}{d}}$ を比例式という
比例式は、（比の値）$=k$ とおいて考える
すなわち、$\displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k}$ とおく
(1) $a+b+c=0$ のとき，$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=-3abc$
$a+b+c=0$ より $c=-a-b$
（左辺）$=ab(a+b)+b$$(-a-b)$$\{b+$$(-a-b)$$\}+$$(-a-b)$$a\{$$(-a-b)$$+a\}$
$=ab(a+b)+b(-a-b)(-a)+(-a-b)a(-b)$
$=ab(a+b)+ab(a+b)+ab(a+b)$
$=3ab(a+b)$
（右辺）$=-3ab$$(-a-b)$
$=3ab(a+b)$
よって $a+b+c=0$ のとき，$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=-3abc$
【別解】$a+b+c=0$ より
$a+b=-c$，$b+c=-a$，$c+a=-b$ が成り立つ
（左辺）$=ab$$(-c)$$+bc$$(-a)$$+ca$$(-b)$
$=-3abc=$（右辺）
(2) $\displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{c}{d}}$ のとき，$\displaystyle{\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}}$
$\displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k}$ とおくと $a=bk$，$c=dk$
（左辺）$\displaystyle{=\frac{bk+dk}{b+d}=\frac{k(b+d)}{b+d}=k}$
（右辺）$\displaystyle{=\frac{bk-dk}{b-d}=\frac{k(b-d)}{b-d}=k}$
よって $\displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{c}{d}}$ のとき，$\displaystyle{\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}}$
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