円が直線から切り取る弦の長さ

$x^2+y^2=4$ は中心が原点 $\textrm{O}$，半径が $2$ の円であるから　　$\textrm{OA}=2$
円の中心 $\textrm{O}$ から直線 $\textrm{AB}$ に垂線 $\textrm{OM}$ を下ろすと
$\textrm{M}$ は線分 $\textrm{AB}$ の中心であるから　　$\textrm{AM}=\textrm{BM}$
$\textrm{OM}$ は円の中心 $\textrm{O}$ と直線 $\textrm{AB}$ の距離より
　　$\displaystyle{\textrm{OM}=\frac{|0-0+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}}$
$\triangle\textrm{OAM}$ は直角三角形であるから，三平方の定理より
　　$\displaystyle{\textrm{AM}=\sqrt{\textrm{OA}^2-\textrm{OM}^2}=\sqrt{2^2-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}=\sqrt{\frac{7}{2}}=\frac{\sqrt{14}}{2}}$
したがって　　$\displaystyle{\textrm{AB}=2\textrm{AM}=\sqrt{14}}$

$x-y+1=0$ より　　$y=x+1$
これを $x^2+y^2=4$ に代入すると
　　　$x^2+(x+1)^2=4$
　　　$2x^2+2x-3=0$
この方程式の解は，円と直線の交点の $x$ 座標である
これらを $\alpha$，$\beta$ とすると，解と係数の関係より
　　　$\displaystyle{\alpha+\beta=-1}$，　　$\displaystyle{\alpha\beta=-\frac{3}{2}}$
点 $\textrm{A}$，$\textrm{B}$ は直線 $y=x+1$ 上にあるから
$\textrm{A}(\alpha，\alpha+1)$，$\textrm{B}(\beta，\beta+1)$ である

このとき
　　　$\textrm{AB}^2=(\beta-\alpha)^2+\{(\beta+1)-(\alpha+1)\}^2$
　　　　　$=2(\beta-\alpha)^2$
　　　　　$=2\{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\}$
　　　　　$=2\{(-1)^2-4\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)\}$
　　　　　$=14$
したがって　　$\textrm{AB}=\sqrt{14}$

$x-y+1=0$ より　　$y=x+1$
これを $x^2+y^2=4$ に代入すると
　　　$x^2+(x+1)^2=4$
　　　$2x^2+2x-3=0$
　　　　　　　$\displaystyle{x=\frac{-1\pm\sqrt{7}}{2}}$
$y=x+1$ に代入すると　　$\displaystyle{\textrm{A}\left(\frac{-1-\sqrt{7}}{2}，\frac{1-\sqrt{7}}{2}\right)}$，$\displaystyle{\textrm{B}\left(\frac{-1+\sqrt{7}}{2}，\frac{1+\sqrt{7}}{2}\right)}$
　　$\displaystyle{\textrm{AB}^2=\left(\frac{-1+\sqrt{7}}{2}-\frac{-1-\sqrt{7}}{2}\right)^2+\left(\frac{1+\sqrt{7}}{2}-\frac{1-\sqrt{7}}{2}\right)^2}$
　　　　　$=(\sqrt{7})^2+(\sqrt{7})^2$
　　　　　$=14$
したがって　　$\textrm{AB}=\sqrt{14}$