高校数学Ⅱの【図形と方程式】で学ぶ『軌跡｜垂直二等分線・角の二等分線』について解説！
「軌跡が苦手」という高校生はとても多いです！
軌跡が苦手という人でも、軌跡の問題が解けるようにわかりやすく解説しました！
この投稿を見れば、軌跡の問題はバッチリ！
軌跡とは
与えられた条件を満たす点全体の集合が作る図形を、この条件を満たす点の軌跡という。
点 $\textrm{A}$ からの距離が $r$ である点 $\textrm{P}$ 全体の集合は円である
すなわち、点 $\textrm{P}$ の軌跡は、点 $\textrm{A}$ を中心とする半径 $r$ の円である
円は定点からの距離が一定であるような点の軌跡である
軌跡を求める手順
点 $\textrm{P}$ の軌跡は次の手順で求めることができる
① 軌跡を求める点 $\textrm{P}$ の座標を $(x，y)$ とおく
② 与えられた条件から，$x$，$y$ の関係式を導き，図形が何かを調べる
③ ②で求めた図形上のすべての点が，与えられた条件を満たすかどうか調べる
（明らかな場合は省略してもよい）
２定点に対して比で表される点の軌跡
点 $\textrm{P}$ の座標を $(x，y)$ とすると
$\textrm{AP}:\textrm{BP}=2:1$ より $\textrm{AP}=2\textrm{BP}$
両辺を２乗して $\textrm{AP}^2=4\textrm{BP}^2$
$(x+2)^2+y^2=4\{(x-4)^2+y^2\}$
$3x^2+3y^2-36x+60=0$
$x^2+y^2-12x+20=0$
$(x-6)^2+y^2=16$ … ① ←どのような図形かわかる式まで変形
よって，与えられた条件を満たす点 $\textrm{P}$ は①上にある
逆に，①上のすべての点は与えられた条件を満たす
したがって，点 $\textrm{P}$ の軌跡は，中心 $(6，0)$，半径 $4$ の円
【補足】
・$\textrm{AP}=2\textrm{BP}$ のまま用いると，$\sqrt{(x+2)^2+y^2}=\sqrt{(x-4)^2+y^2}$ となり，どうせ２乗することになるので，先に２乗 $\textrm{AP}^2=4\textrm{BP}^2$ している
・円の場合，方程式ではなく，図形の説明をする
「円 $(x-6)^2+y^2=16$ 」ではなく，「中心 $(6，0)$，半径 $4$ の円」と答える
アポロニウスの円
$m>0$，$n>0$ のとき，平面上の２点 $\textrm{A}$，$\textrm{B}$ に対して，$\textrm{AP}:\textrm{BP}=m:n$ を満たす点 $\textrm{P}$ の軌跡は
(ア) $m≠n$ のとき
線分 $\textrm{AB}$ を $m:n$ に内分する点と外分する点を
直径の両端とする円（アポロニウスの円）
(イ) $m=n$ のとき
線分 $\textrm{AB}$ の垂直二等分線
アポロニウスの円を利用すると，簡単に軌跡が求まる
条件より，この図形はアポロニウスの円を表す
線分 $textrm{AB}$ を $2:1$ に内分する点は $(2，0)$
線分 $textrm{AB}$ を $2:1$ に外分する点は $(10，0)$
２点 $(2，0)$，$(10，0)$ を結ぶ線分の中点が円の中心だから，
円の中心は $(6，0)$
また，円の半径は $4$
したがって，求める軌跡は 中心 $(6，0)$，半径 $4$ の円
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