高校数学Ⅱの【三角関数】で学ぶ『半角の公式』について解説！
苦手としている人が多い公式の一つです！
この投稿を見れば，『半角の公式』の基本はバッチリ！
半角の公式
$\displaystyle{\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}}$
$\displaystyle{\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}}$
$\displaystyle{\tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}$
半角の公式の導出
$\cos$ の２倍角の公式 $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$ より
$\displaystyle{\sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2}}$
$\alpha$ を $\displaystyle{\frac{\alpha}{2}}$ に置き換えると
$\displaystyle{\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}}$
$\cos$ の２倍角の公式 $\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$ より
$\displaystyle{\cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2}}$
$\alpha$ を $\displaystyle{\frac{\alpha}{2}}$ に置き換えると
$\displaystyle{\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}}$
$\displaystyle{\sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2}}$，$\displaystyle{\cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2}}$ より
$\displaystyle{\tan^2\alpha=\frac{\displaystyle{\frac{1-\cos2\alpha}{2}}}{\displaystyle{\frac{1+\cos2\alpha}{2}}}=\frac{1-\cos2\alpha}{1+\cos2\alpha}}$
$\alpha$ を $\displaystyle{\frac{\alpha}{2}}$ に置き換えると
$\displaystyle{\tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}$
まとめると
$\alpha$ を $\displaystyle{\frac{\alpha}{2}}$ に置き換える前の以下の式も覚えておくと便利！
忘れたら，２倍角の公式から導出できる！
$\displaystyle{\sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2}}$
$\displaystyle{\cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2}}$
$\displaystyle{\tan^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{1+\cos2\alpha}}$
半角の公式に関する問題
(1) $\displaystyle{\sin\frac{\alpha}{2}}$ (2) $\displaystyle{\cos\frac{\alpha}{2}}$
(1) $\displaystyle{\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}=\frac{\displaystyle{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}}{2}=\frac{2}{3}}$
$\displaystyle{\pi<\alpha<\frac{3}{2}\pi}$ より，$\displaystyle{\frac{\pi}{2}<\frac{\alpha}{2}<\frac{3}{4}\pi}$ であるから， $\displaystyle{\sin\frac{\alpha}{2}>0}$
よって， $\displaystyle{\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}}$
(2) $\displaystyle{\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}=\frac{\displaystyle{1+\left(-\frac{1}{3}\right)}}{2}=\frac{1}{3}}$
$\displaystyle{\pi<\alpha<\frac{3}{2}\pi}$ より，$\displaystyle{\frac{\pi}{2}<\frac{\alpha}{2}<\frac{3}{4}\pi}$ であるから， $\displaystyle{\cos\frac{\alpha}{2}<0}$
よって， $\displaystyle{\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}}$
【別解】$\displaystyle{\sin\frac{\alpha}{2}}$ が求まれば， $\displaystyle{\sin^2\frac{\alpha}{2}+\cos^2\frac{\alpha}{2}=1}$ より，$\displaystyle{\cos\frac{\alpha}{2}}$ が求まる
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