集合の要素の個数

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場合の数と確率

集合

集合…範囲がはっきりしたものの集まり

要素…集合を構成しているひとつひとつ

例 5 以下の自然数全体の集合 A

A の要素は 12345

集合 A を以下のように表す

A={12345}

{ } の中に要素を書くと、その要素が集まった集合を表す

共通部分

ABA かつ B)… AB の共通部分

AB の両方に属する集合

和集合

ABA または B)… AB の和集合

AB の少なくとも一方に属する集合

補集合

A … 集合 A の補集合

U は全体集合

詳しい解説はこれ↓

集合
集合の基本である 共通部分(かつ)・和集合(または)・補集合 を理解していますか? 集合は図で考えるのが基本! よく問題で出題される集合をまとめました!

集合の要素の個数の表し方

n(A) … 集合 A の要素の個数

例 5 以下の自然数全体の集合 A

n(A)=5(集合 A の個数は 5 個)

n( )n は「個数」という意味の「number」の頭文字と覚えておこう!

和集合の要素の個数

和集合 AB の要素の個数は以下のように表せる

和集合の要素の個数
n(AB)=n(A)+n(B)n(AB)

n(A)=an(B)=bn(AB)=c とすると

n(AB)=(ac)+(bc)+c

      =a+bc

      =n(A)+n(B)n(AB)

n(A)+n(B) だと共通部分である n(AB) を2回足していることになるから,n(AB) を引くんだね!

補集合の要素の個数

補集合の要素の個数
n(A)=n(U)n(A)

全体集合 U の要素の個数から集合 A の要素の個数を引く

まとめ

● 集合

ABA かつ B)… AB の共通部分

ABA または B)… AB の和集合

A … 集合 A の補集合

● 要素の個数

n(A) … 集合 A の要素の個数

● 和集合 AB の要素の個数

n(AB)=n(A)+n(B)n(AB)

● 補集合の要素の個数

n(A)=n(U)n(A)

問題

全体集合 U の部分集合 AB について,
n(U)=50n(A)=30n(B)=25n(AB)=15
であるとき,次の要素の個数を求めよ。
(1) AB
(2) A
(3) AB
(4) AB
(5) AB

(1) AB

n(AB)=n(A)+n(B)n(AB)

      =30+2515

      =40

(2) A

n(A)=n(U)n(A)

   =5030

   =20

(3) ABA の中 かつ B の外)

n(AB)=n(A)n(AB)

      =3015

      =15

(4) AB

n(AB)=n(U)n(AB)

      =5040

      =10

(5) AB

ド・モルガンの法則より

AB=AB

よって n(AB)=n(AB)=10

ド・モルガンの法則はこれ↓

ド・モルガンの法則
ド・モルガンの法則を理解していますか? 『ド・モルガンの法則がなぜその式になるのか』 集合を使ってわかりやすく説明します! 式を覚えているだけはNG! どんな場面で使えばいいのか? と悩んでいる人もこの投稿で解決します!

図を描いてみることが大切!

ド・モルガンの法則も使えるように!

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