組合せとは
まずは順列との違いをはっきりさせよう！
順列の復習はこれ↓
順列 … 異なる $n$ 個から異なる $r$ 個を選んで並べる
組合せ … 異なる $n$ 個から異なる $r$ 個を選ぶ
「選ぶだけ」が組合せ
組合せの具体例
$\{a，b，c\}$，$\{a，b，d\}$，$\{a，c，d\}$，$\{b，c，d\}$
の４通り
$\{a，b，c\}$，$\{a，c，b\}$，$\{b，a，c\}$
$\{b，c，a\}$，$\{c，a，b\}$，$\{c，b，a\}$
は並び順が違うので，順列では６通りだが
組合せはすべて同じなので，
組合せでは $\{a，b，c\}$ の１通りと考える
「順列は選んで並べる」
「組合せは選ぶだけ」
並べない分，組合せの方が場合の数が小さいね！
組合せの総数
異なる $n$ 個から異なる $r$ 個を選ぶ組合せを
$n$ 個から $r$ 個選ぶ組合せ という
その総数を $_nC_r$ で表す
$_nC_r$ の計算
$_nC_r$ は，順列 $_nP_r$ と $r!$ を使って表すことができるよ！
$_nP_r$ … 異なる $n$ 個から異なる $r$ 個を選んで並べる
$r!$ … 異なる $r$ 個をすべて並べる
$_nC_r$ … 異なる $n$ 個から異なる $r$ 個を選ぶ
これらを使って式を作る
$_nP_r=_nC_r×r!$
($n$ 個から $r$ 個選んで並べる)=($n$ 個から $r$ 個選ぶ)×(選んだ $r$ 個をすべて並べる)
これを式変形すると
$\displaystyle{_nC_r=\frac{_nP_r}{r!}}$
この式を使って問題を解いてみよう！
$\displaystyle{_4C_3=\frac{_4P_3}{3!}}$ より
$\displaystyle{_nC_r=\frac{_nP_r}{r!}}$ を覚えるよりは下のように覚えよう！
$_nC_r$ の性質
$100$ 個から $99$ 個選ぶのは何通り？
$_{100}C_{99}$ で計算できるけど，計算が大変だよ…
$100$ 個から $99$ 個選んでって言われたらどうする？
$99$ 個選ぶのは大変だから，
選ばない $1$ 個を選ぶかな？
それが効率のよい考え方だよね！
「$100$ 個から $99$ 個選ぶ」のも，
「$100$ 個から $1$ 個選ぶ」のも同じということだよ！
なるほど！
$_{100}C_{99}$ は $_{100}C_1$ で計算できるってことか！
具体例
$_6C_4=_6C_2$
$_7C_5=_7C_2$
$_8C_5=_8C_3$
$_9C_8=_9C_1$
$_nC_r$ の計算が複雑な場合は使えるようにしよう！
まとめ
● 順列と組合せの違い
「選んで並べる」が順列
「選ぶだけ」が組合せ
● 組合せ
異なる $n$ 個から異なる $r$ 個を選ぶ組合せを
$n$ 個から $r$ 個選ぶ組合せ という
その総数を $_nC_r$ で表す
● $nC_r$ の計算
● $_nC_r$ の性質
$_nC_r=_nC_{n-r}$
計算が大変なときに使おう
問題
(1) ５人から２人選ぶ
(2) ７つの文字 $a～g$ から５つ選ぶ
(1) ５人から２人選ぶ
(2) ７つの文字 $a～g$ から５つ選ぶ
まずは計算に慣れることが大切！
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