確率の問題でも頻出なのが「反復試行」！
しっかりマスターしよう！
反復試行とは
反復試行 … 同じ条件の下で繰り返す試行
- コインを繰り返し投げる
- さいころを繰り返し投げる
- 袋の中から玉を取り出して袋に戻す試行を繰り返す
独立な試行の確率
独立な試行の確率の復習はこれ↓
独立な試行は確率を掛けることができる
問題を解いてみよう！
さいころを投げる試行は互いに独立
さいころを１回投げて３の倍数が出る確率は $\displaystyle{\frac{1}{3}}$
３回とも３の倍数が出る確率は $\displaystyle{\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27}}$
反復試行は互いに独立な試行の繰り返し！
反復試行の確率
【NG解答】
さいころを１回投げて３の倍数が出る確率は $\displaystyle{\frac{1}{3}}$
残り２回は３の倍数以外が出るので，その確率は
$\displaystyle{1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}}$
さいころを３回投げてちょうど１回３の倍数が出る確率は
$\displaystyle{\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{4}{27}}$
この解答は間違いだけど，どこが違うか分かる？
３の倍数→３の倍数以外→３の倍数以外
という順番の確率しか求めていないからかな？
その通り！
反復試行の注意点は，順番を考えないといけないということ！
【OKな解答】
さいころを１回投げて３の倍数が出る確率は $\displaystyle{\frac{1}{3}}$
残り２回は３の倍数以外が出るので，その確率は
$\displaystyle{1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}}$
３の倍数を○，３の倍数以外を×とする
[1] ○××のとき
$\displaystyle{\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{4}{27}}$
[2] ×○×のとき
$\displaystyle{\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{4}{27}}$
[3] ××○のとき
$\displaystyle{\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{4}{27}}$
[1]，[2]，[3] は互いに排反なので
$\displaystyle{\frac{4}{27}+\frac{4}{27}+\frac{4}{27}=\frac{4}{9}}$
[1]，[2]，[3] は順番が違うだけで， どれも $\displaystyle{\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)^2}$ になるね！
順番を変えると [1]，[2]，[3] の $3$ 通りあるから
$\displaystyle{3\times\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)^2}$
この $3$ 通りはどういう計算で求まるかな？
３回のうち３の倍数が出る１回を選ぶから $_3C_1=3$ で計算できそう！
その通り！
$\displaystyle{_3C_1\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{2}{9}}$
という計算で解けるね！
さいころを１回投げて３の倍数が出る確率は $\displaystyle{\frac{1}{3}}$
３の倍数以外が出る確率は $\displaystyle{1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}}$
３の倍数が出る すなわち $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ が２回 $\displaystyle{\left(\frac{1}{3}\right)^2}$
３の倍数以外が出る すなわち $\displaystyle{\frac{2}{3}}$ が２回 $\displaystyle{\left(\frac{2}{3}\right)^2}$
を順番に並べると $_4C_2$ 通り
（４回のうち３の倍数が出る２回を選ぶ）
求める確率は $\displaystyle{_4C_2\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{8}{27}}$
３の倍数を○，３の倍数以外を×とする
順番に並べると
○○××
○×○×
○××○
×○○×
×○×○
××○○
の $6$ 通り
この $6$ 通りが
４回のうち３の倍数が出るのを２回選ぶ
すなわち $_4C_2$ で計算できる
$_○C_○$ は忘れやすいから注意が必要だね！
まとめ
● 反復試行とは
反復試行 … 同じ条件の下で繰り返す試行
● 反復試行の確率
$\displaystyle{_○C_○\left(\frac{○}{○}\right)^○\left(\frac{○}{○}\right)^○}$
問題
１回の試行で赤玉を取り出す確率は $\displaystyle{\frac{2}{3}}$
１回の試行で白玉を取り出す確率は $\displaystyle{\frac{1}{3}}$
５回のうち赤玉をちょうど３回取り出す確率は
$\displaystyle{_5C_3\left(\frac{2}{3}\right)^3\left(\frac{1}{3}\right)^2}=\frac{80}{243}$
「反復試行の確率」は，確率の中では頻出なので解けるようにしておこう！
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