整数の割り算と商・余り

割られる数＝割る数×商＋余り

小学校のときの割り算

$100÷3=33\cdots1$

$100$ を $3$ で割った商は $33$ で余りは $1$ という式

高校ではこれを

$100=3・33+1$ と表す

つまり

$(割られる数)=(割る数)\times(商)+(余り)$

という式で表す

余りの範囲

 

負の数を割ったときの余り

$-20=3・(商)+(余り)$

$0≦(余り)<3(割る数)$　を満たすように商と余りを入れると

$-20=3・(-7)+1$

商は $-7$，余りは $1$

余りをもつ数の表し方

倍数の表し方

$5$ の倍数は

$\cdots，-10，-5，0，5，10，15，\cdots$

すなわち

$\cdots，5\cdot(-2)，5\cdot(-1)，5\cdot0，5\cdot1，5\cdot2，5\cdot3，\cdots$

$5$ の倍数は　$5\cdot(整数)$　と表せるので

これらを整数 $k$ を用いて表すと　$5k$　と表せる

余りをもつ数の表し方

$5$ で割ると $2$ 余る数 $a$ は

商を $k$ ($k$ は整数) とすると

$a$ を $5$ で割ると商が $k$ で余りが $2$ なので

$(割られる数)=(割る数)\times(商)+(余り)$ より

$a=5k+2$　と表される

$5$ で割ると $2$ 余る数を書き並べてみると

$\cdots，-8，-3，2，7，12，\cdots$

すなわち

$\cdots，5\cdot(-2)+2，5\cdot(-1)+2，5\cdot0+2，5\cdot1+2，5\cdot2+2，\cdots$

$5$ で割ると $2$ 余る数は

$5\cdot(整数)+2$　で表される

余りを求める問題

$a$，$b$ は整数 $k$，$l$ を用いて

$a=7k+4$，$b=7l+5$ と表せる

(1)

$a+b=(7k+4)+(7l+5)$
　　　$=7k+7l+9$
　　　$=7k+7l+7+2$
　　　$=7(k+l+1)+2$

$k+l+1$ は整数なので

$a+b$ は　$7\cdot(整数)+2$ で表される

よって　$a+b$ を $7$ で割った余りは $2$

　

(2)

$ab=(7k+4)(7l+5)$
　 $=7^2kl+7\cdot5k+7\cdot4l+20$
　 $=7^2kl+7\cdot5k+7\cdot4l+7\cdot2+6$
　 $=7(7kl+5k+4l+2)+6$

$7kl+5k+4l+2$ は整数なので

$ab$ は　$7\cdot(整数)+6$ で表される

よって　$ab$ を $7$ で割った余りは $6$

　

余りを簡単に求める方法

$a$，$b$ は整数 $k$，$l$ を用いて

$a=7k+4$，$b=7l+5$ と表せる

(1)

$a+b=(7k+4)+(7l+5)$
　　　$=7(k+l)+(4+5)$

$7k$ と $7l$ は必然的に $7$ でまとめれるので

$a+b$ を $7$ で割った余りは $4+5$ を $7$ で割った余りになる

$4+5$ は $a$ と $b$ をそれぞれ $7$ で割った余りの和なので

$(a+b を 7 で割った余り)=(余りの和 4+5 を 7 で割った余り)$

　

(2)

$ab=(7k+4)(7l+5)$
　 $=7(7kl+5k+4l)+4\cdot5$

分配法則で展開した $4\cdot5$ 以外は $7$ でまとめれるので

$ab$ を $7$ で割った余りは $4\cdot5$ を $7$ で割った余りになる

$4\cdot5$ は $a$ と $b$ をそれぞれ $7$ で割った余りの積なので

$(ab を 7 で割った余り)=(余りの積 4\cdot5 を 7 で割った余り)$

(1)

$(a+b を 5 で割った余り)=(余りの和 4+3 を 5 で割った余り)$

$4+3=7$ なので $5$ で割った余りは $2$

$a+b$ を $5$ で割った余りは $2$

　

(2)

$(ab を 5 で割った余り)=(余りの積 4\cdot3 を 5 で割った余り)$

$4\cdot3=12$ なので $5$ で割った余りは $2$

$ab$ を $5$ で割った余りは $2$

まとめ

● 割り算と商・余り

　$(割られる数)=(割る数)\times(商)+(余り)$

● 余りの範囲

　$0≦(余り)<(割る数)$

問題

$-26=4\cdot(-7)+2$

余りは $2$

　

$a$，$b$ は整数 $k$，$l$ を用いて

$a=6k+3$，$b=6l+4$ と表せる

(1)

$a+b=(6k+3)+(6l+4)$
　　　$=6k+6l+7$
　　　$=6k+6l+6+1$
　　　$=6(k+l+1)+1$

$k+l+1$ は整数なので

$a+b$ は　$6\cdot(整数)+1$ で表される

よって　$a+b$ を $6$ で割った余りは $1$

　

(2)

$ab=(6k+3)(6l+4)$
　 $=6^2kl+6\cdot4k+6\cdot3l+12$
　 $=6^2kl+6\cdot4k+6\cdot3l+6\cdot2$
　 $=6(6kl+4k+3l+2)$

$6kl+4k+3l+2$ は整数なので

$ab$ は　$6\cdot(整数)$ で表される

よって　$ab$ を $6$ で割った余りは $0$

　

(3)

$3a+2b=3(6k+3)+2(6l+4)$
　　　　$=6\cdot3k+6\cdot2l+17$
　　　　$=6k+6l+12+5$
　　　　$=6(k+l+2)+5$

$k+l+2$ は整数なので

$3a+2b$ は　$6\cdot(整数)+5$ で表される

よって　$3a+2b$ を $6$ で割った余りは $5$

　

(4)

$a-b=(6k+3)-(6l+4)$
　　　$=6k-6l-1$
　　　$=6k-6l-6+5$
　　　$=6(k-l-1)+5$

$k-l-1$ は整数なので

$a-b$ は　$6\cdot(整数)+5$ で表される

よって　$a-b$ を $6$ で割った余りは $5$

　

＜簡単に求める方法＞

(1)

$(a+b を 6 で割った余り)=(余りの和 3+4 を 6 で割った余り)$

$3+4=7$ なので $6$ で割った余りは $1$

$a+b$ を $6$ で割った余りは $1$

　

(2)

$(ab を 6 で割った余り)=(余りの積 3\cdot4 を 6 で割った余り)$

$3\cdot4=12$ なので $6$ で割った余りは $0$

$ab$ を $0$ で割った余りは $0$

　

(3)

$(3a+2b を 6 で割った余り)=(余り 3\cdot3+2\dots4 を 6 で割った余り)$

$3\cdot3+2\cdot4=17$ なので $6$ で割った余りは $5$

$3a+2b$ を $6$ で割った余りは $5$

　

(4)

$(a-b を 6 で割った余り)=(余りの差 3-4 を 6 で割った余り)$

$3-4=-1$ なので $6$ で割った余りは $5$

$a-b$ を $6$ で割った余りは $5$