１次不定方程式②

まずは１次不定方程式の基本を理解してから！

１次不定方程式の基本

$a x + b y = 0$ の解き方はこれ↓

１次不定方程式①

１次不定方程式って何？解き方の基本をおさえよう！

１次不定方程式 $a x + b y = c$ を解く
1. 解法
2. 解の表し方は無数にある
解の検算
まとめ
問題

１次不定方程式 $a x + b y = c$ を解く

解法

方程式

3 x + 4 y = 1

の整数解をすべて求めよ。

手順１　 $3 □ + 4 □ = 1$ という式を１つ作る
　　　（ $3 x + 4 y = 1$ を満たす整数解 $x$ ， $y$ を１つ求める）

□に整数を入れて式を成り立たせるには

$3 \cdot (- 1) + 4 \cdot 1 = 1$

$3 \cdot 3 + 4 \cdot (- 2) = 1$

$3 \cdot 7 + 4 \cdot (- 5) = 1$

などがある

どれでもいいので，数字を入れて式を１つ作ろう

手順２　方程式を手順１の式で引いて右辺を $0$ にする

$3 x + 4 y = 1$ を手順１で求めた式 $3 \cdot (- 1) + 4 \cdot 1 = 1$ で引く

$3 x + 4 y = 1$ 　 $\dots$ 　①
$3 \cdot (- 1) + 4 \cdot 1 = 1$ 　 $\dots$ 　②

①ー②より　 $3 {x - (- 1)} + 4 (y - 1) = 0$

すなわち　 $3 (x + 1) + 4 (y - 1) = 0$

手順３　方程式 $a x + b y = 0$ と同様に解く

式変形して　 $3 (x + 1) = - 4 (y - 1)$

$3$ と $4$ は互いに素（最大公約数が $1$ ）なので
整数 $k$ を用いて　 $x + 1 = 4 k$ ， $y - 1 = - 3 k$
よって　 $x = 4 k - 1$ ， $y = - 3 k + 1$

または

$x + 1 = - 4 k$ ， $y - 1 = 3 k$
よって　 $x = - 4 k - 1$ ， $y = 3 k + 1$

でもよい

解の表し方は無数にある

手順１で作った式が $3 \cdot 3 + 4 \cdot (- 2) = 1$ なら，

$x = 4 k + 3$ ， $y = - 3 k - 2$
(または $x = - 4 k + 3$ ， $y = 3 k - 2$ )　になる

つまり，手順１で作った式によって，解の表し方が異なる

しかし，

$x = 4 k - 1$ ， $y = - 3 k + 1$ と解を表しても

$x = 4 k + 3$ ， $y = - 3 k - 2$ と解を表しても

$k$ に整数を代入すると，どちらの解も

$(x 、 y) = \dots ， (- 5 ， 4) ， (- 1 ， 1) ， (3 ， - 2) ， (7 ， - 5) ， \dots$

と一致する

ポイント

解の表し方は無数にあるが，どの表し方をしても同じ解を表している

解の検算

答えが合ってるかどうか確認はできないの？

出てきた式を方程式に代入して，式が成り立てば正解だよ！

$x = 4 k - 1$ ， $y = - 3 k + 1$ を $3 x + 4 y = 1$ に代入すると

$3 (4 k - 1) + 4 (- 3 k + 1) = 1$

左辺と右辺は等しくなるので，

$x = 4 k - 1$ ， $y = - 3 k + 1$ は方程式 $3 x + 4 y = 1$ の解である

ポイント

解を方程式に代入すれば，解の検算ができる

まとめ

● １次不定方程式 $a x + b y = c$ の解き方

　手順１　 $a □ + b □ = c$ を作る

　　　　　 $a x + b y = c$ の整数解の１つを求める

　手順２　方程式を手順１の式で引く

　手順３　 $a (x - □) + b (y - □) = 0$ を解く

● １次不定方程式のポイント

整数 $k$ を用いた解の表し方は無数にあるが，どれも同じ解を表している
方程式に解を代入すると検算ができる

問題

方程式

5 x + 4 y = 1

の整数解をすべて求めよ。

$x = 1$ ， $y = - 1$ は $5 x + 4 y = 1$ の解の１つなので

$5 \cdot 1 + 4 \cdot (- 1) = 1$

$5 x + 4 y = 1$ 　\cdots　①

$5 \cdot 1 + 4 \cdot (- 1) = 1$ 　\cdots　②

①ー②より　 $5 (x - 1) + 4 {y - (- 1)} = 0$

すなわち　 $5 (x - 1) + 4 (y + 1) = 0$

式変形して　 $5 (x - 1) = - 4 (y + 1)$

$5$ と $4$ は互いに素（最大公約数が $1$ ）なので

整数 $k$ を用いて　 $x - 1 = 4 k$ ， $y + 1 = - 5 k$

よって　 $x = 4 k + 1$ ， $y = - 5 k - 1$

方程式

5 x - 4 y = 1

の整数解をすべて求めよ。

$x = 1$ ， $y = 1$ は $5 x + 4 y = 1$ の解の１つなので

$5 \cdot 1 - 4 \cdot 1 = 1$

$5 x - 4 y = 1$ 　\cdots　①

$5 \cdot 1 - 4 \cdot 1 = 1$ 　\cdots　②

①ー②より　 $5 (x - 1) - 4 {y - 1} = 0$

すなわち　 $5 (x - 1) - 4 (y - 1) = 0$

式変形して　 $5 (x - 1) = 4 (y - 1)$

$5$ と $4$ は互いに素（最大公約数が $1$ ）なので

整数 $k$ を用いて　 $x - 1 = 4 k$ ， $y - 1 = 5 k$

よって　 $x = 4 k + 1$ ， $y = 5 k + 1$

解き方が分かれば練習あるのみ！

１次不定方程式 ax+by=c を解く

解法

解の表し方は無数にある

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まとめ

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