直線の方程式

高校数学Ⅱで学ぶ『直線の方程式』を解説！

直線は座標平面の図形において基本中の基本！

「傾き」と「通る点」で直線の方程式を求めることができる！

この投稿を見れば、『直線の方程式』を確実にマスターできます！

図形と方程式

方程式 … 文字が含まれる等式

例えば，$y=x$，$y=x^2$ など

方程式を満たす $x$ と $y$ の組合せを座標平面上にとると図形ができる

$y=x$ を満たすような $x$ と $y$ の組合せを座標で表すと

　$(0，0)$，$(1，1)$，$(2，2)$，$(-1，-1)$，$\cdots$

$x$ 座標と $y$ 座標が等しいような点が $y=x$ を満たすような点である

これらを図示すると，座標平面上に直線ができる

以上より，方程式 $y=x$ は座標平面上では直線を表す

１次関数 $y=ax+b$

傾きとは

傾き $1$ … $x$ の変化量 $1$，$y$ の変化量 $1$

傾き $2$ … $x$ の変化量 $1$，$y$ の変化量 $2$

傾き $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ … $x$ の変化量 $2$，$y$ の変化量 $1$

傾き $-1$ … $x$ の変化量 $1$，$y$ の変化量 $-1$

傾き $-2$ … $x$ の変化量 $1$，$y$ の変化量 $-2$

傾き $\displaystyle{-\frac{1}{2}}$ … $x$ の変化量 $2$，$y$ の変化量 $-1$

切片

中学校では，切片といえば $y$ 軸と交わるところ

高校では，これを $y$ 切片という

また，$x$ 軸と交わるところを $x$ 切片という

$y=ax+b$ の $b$ が $y$ 切片である理由は

$x=0$ を代入すると $y=b$ となるから

　

直線の方程式

<式の成り立ち＞

傾き $m$，$y$ 切片 $b$ である直線の方程式は

　$y=mx+b$　…　①

この直線が $(x_1，y_1)$ を通るとき

①に $(x_1，y_1)$ を代入して

　$y_1=mx_1+b$　…　②

①-②より，　$y-y_1=m(x-x_1)$

傾きと通る点が与えられている問題

　$y-(-3)=2(x-1)$

　　　$y=2x-5$

通る２点が与えられている問題

　

　

傾きは　$\displaystyle{\frac{-2-2}{3-1}=-2}$

傾きが $-2$，点 $(1，2)$ を通る直線の方程式は

　$y-2=-2(x-1)$

　　$y=-2x+4$

まとめ

● １次関数 $y=ax+b$

　傾き $a$，$y$ 切片 $b$ の直線

● 直線の方程式

　傾き $m$，点 $(x_1，y_1)$ を通る直線の方程式は

　　　$y-y_1=m(x-x_1)$

　『傾き』と『通る点』で直線の方程式は求まる

● 通る２点の座標から傾きを求める方法

　２点 $(○，□)$，$(●，■)$ を通る直線の傾きは

　　　$\displaystyle{\frac{■-□}{●-○}}$

問題