円と直線の位置関係と２次方程式の判別式の関係をわかりやすく解説！

高校数学で学ぶ『円と直線の位置関係と判別式』について解説！

円と直線の位置関係は、２次方程式の判別式で調べることができます！

この投稿を見れば、『円と直線の位置関係と判別式』についてバッチリ！

円と直線の位置関係
円と直線の共有点の個数
円と直線の位置関係と判別式
問題
まとめ

円と直線の位置関係

円と直線の位置関係は３パターン！

円と直線の共有点の個数

円と直線の共有点の求め方はこれ↓

円と直線の共有点の個数

高校数学で学ぶ『座標平面における円と直線の共有点の個数』について解説！円と直線の共有点は連立方程式で求まる！そして、円と直線の共有点の個数は、その計算過程で出てくる２次方程式の実数解の個数と一致する！この投稿を見れば、『座標平面における円と直線の共有点の個数』の理解度が高まります！

[1] ２点で交わる場合

円

x^{2} + y^{2} = 2

と直線

y = x

の共有点の座標を求めよ。

${\begin{aligned} x^{2} + y^{2} = 2 \dots ① \\ y = x \dots ② \end{aligned}$

②を①に代入して　　 $x^{2} + x^{2} = 2$
　　　　　　　　　　　　 $2 x^{2} = 2$
　　　　　　　　　　　　 $x^{2} = 1$
　　　　　　　　　　　　　 $x = \pm 1$
②より　　 $x = 1$ のとき　 $y = 1$
　　　　　 $x = - 1$ のとき　 $y = - 1$
共有点の座標は　　 $(1 ， 1)$ ， $(- 1 ， - 1)$

$y$ を消去した式 $x^{2} = 1$ の実数解の個数が $2$ 個なので

共有点の個数も $2$ 個になる

[2] 接する（１点で交わる）場合

円

x^{2} + y^{2} = 2

と直線

y = x - 2

の共有点の座標を求めよ。

${\begin{aligned} x^{2} + y^{2} = 2 \dots ① \\ y = x - 2 \dots ② \end{aligned}$

②を①に代入して　　 $x^{2} + (x - 2)^{2} = 2$
　　　　　　　　　　　 $2 x^{2} - 4 x + 4 = 2$
　　　　　　　　　　　 $x^{2} - 2 x + 1 = 0$
　　　　　　　　　　　　 $(x - 1)^{2} = 0$
　　　　　　　　　　　　　　　 $x = 1$
②より　　 $y = - 1$
共有点の座標は　　 $(1 ， - 1)$

$y$ を消去した式 $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ の実数解の個数が $1$ 個なので

共有点の個数も $1$ 個になる

[3] 共有点がない場合

円

x^{2} + y^{2} = 2

と直線

y = x - 3

の共有点の座標を求めよ。

${\begin{aligned} x^{2} + y^{2} = 2 \dots ① \\ y = x - 3 \dots ② \end{aligned}$

②を①に代入して　　 $x^{2} + (x - 3)^{2} = 2$
　　　　　　　　　　　 $2 x^{2} - 6 x + 9 = 2$
　　　　　　　　　　　 $2 x^{2} - 6 x + 7 = 0$
この２次方程式の判別式を $D$ とすると
　　 $D = (- 6)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 7 = - 20 < 0$
実数解をもたないので，共有点はない

$y$ を消去した式 $2 x^{2} - 6 x + 7 = 0$ の実数解の個数が $0$ 個なので

共有点の個数も $0$ 個になる

$y$ を消去した $x$ の２次方程式の実数解の個数が共有点の個数と一致するね！

円と直線の共有点の個数

y

を消去した

x

の２次方程式の実数解の個数と
円と直線の共有点の個数は一致する

２次方程式の実数解の個数は，どうやって調べられる？

判別式 $D$ だね！

その通り！

円と直線の共有点の個数は $y$ を消去した２次方程式の判別式 $D$ を調べればわかるよ！

円と直線の位置関係と判別式

判別式 $D$ の復習をしよう！

２次方程式の判別式

D

２次方程式

a x^{2} + b x + c = 0

の判別式を

D = b^{2} - 4 a c

とすると
　

D > 0

のとき　　異なる２つの実数解をもつ
　

D = 0

のとき　　重解をもつ（実数解１つ）
　

D < 0

のとき　　実数解をもたない

$y$ を消去した $x$ の２次方程式の実数解の個数と円と直線の共有点の個数は一致するので、
円と直線の共有点の個数は $y$ を消去した２次方程式の判別式で調べることができる

　　 $D > 0$ のとき　　異なる２つの実数解をもつ ➡ ２点で交わる
　　 $D = 0$ のとき　　重解をもつ（実数解１つ） ➡ 接する（１点で交わる）
　　 $D < 0$ のとき　　実数解をもたない　　　　 ➡ 共有点をもたない

よって、以下のことが成り立つ

円と直線の位置関係と判別式

円と直線の方程式から

y

を消去した２次方程式

a x^{2} + b x + c = 0

の判別式を

D = b^{2} - 4 a c

とすると
円と直線の位置関係は以下のようになる

【補足】　共有点をもつときは　　 $D ≧ 0$

問題

円

x^{2} + y^{2} = 2

と直線

y = x + m

が異なる２点で交わるときの

m

の値の範囲を求めよ。

解答

$y = x + m$ を $x^{2} + y^{2} = 2$ に代入して（ $y$ 消去）
　　 $x^{2} + (x + m)^{2} = 2$
　　 $2 x^{2} + 2 m x + m^{2} - 2 = 0$ 　 $\dots$ 　①
２次方程式①の判別式を $D$ とすると
　　 $\frac{D}{4} = m^{2} - 2 (m^{2} - 2)$ 　　　　　 $\frac{D}{4}$ について
　　　　 $= - m^{2} + 4$
円と直線が異なる２点で交わるとき，２次方程式①が異なる２つの実数解をもつので
$D > 0$ より　　　 $- m^{2} + 4 > 0$
　　　　　　　　　 $m^{2} - 4 < 0$ 　　←不等号の向きに注意
　　　　　　　 $(m + 2) (m - 2) < 0$
　　　　　　　　　　 $- 2 < m < 2$ 　　２次不等式が不安な人はこれ

問題

円

x^{2} + y^{2} = 2

と直線

y = x + m

が接するときの

m

の値を求めよ。
また，そのときの接点の

x

座標を求めよ。

解答

$y = x + m$ を $x^{2} + y^{2} = 2$ に代入して
　　 $x^{2} + (x + m)^{2} = 2$
　　 $2 x^{2} + 2 m x + m^{2} - 2 = 0$ 　 $\dots$ 　①
２次方程式①の判別式を $D$ とすると
　　 $\frac{D}{4} = m^{2} - 2 (m^{2} - 2) = - m^{2} + 4$
円と直線が接するとき，２次方程式①が重解をもつので
$D = 0$ より　　　 $- m^{2} + 4 = 0$
　　　　　　　　　　　 $m^{2} = 4$
　　　　　　　　　　　 $m = \pm 2$
２次方程式①について
$m = 2$ のとき　　 $2 x^{2} + 4 x + 2 = 0$
　　　　　　　　　　　 $(x + 1)^{2} = 0$
　　　　　　　　　　　　　　　 $x = - 1$
$m = - 2$ のとき　　 $2 x^{2} - 4 x + 2 = 0$
　　　　　　　　　　　 $(x - 1)^{2} = 0$
　　　　　　　　　　　　　　　 $x = 1$