三角関数の合成を用いる方程式

　$a\sin\theta+b\cos\theta$　の合成

1. 　点 $(a，b)$ をとる
2. 　$r$ と $\alpha$ を求める
3. 　$r\sin(\theta+\alpha)$ に式変形する

$0≦\theta<2\pi$ のとき，方程式 $\sqrt{3}\sin\theta-\cos\theta=1$ を解け。

左辺の　$\sqrt{3}\sin\theta-\cos\theta$　を合成すると

$\displaystyle{\sqrt{3}\sin\theta-\cos\theta=2\sin\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)}$

よって

$\sqrt{3}\sin\theta-\cos\theta=1$

$\displaystyle{2\sin\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)=1}$

$\displaystyle{\sin\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}}$

$\displaystyle{\theta-\frac{\pi}{6}=t}$　とすると

$\displaystyle{\sin t=\frac{1}{2}}$

$0≦\theta<2\pi$　より

$0≦\theta<2\pi$

$\displaystyle{0-\frac{\pi}{6}≦\theta-\frac{\pi}{6}<2\pi-\frac{\pi}{6}}$

$\displaystyle{-\frac{\pi}{6}≦\theta-\frac{\pi}{6}<\frac{11}{6}\pi}$

$\displaystyle{-\frac{\pi}{6}≦t<\frac{11}{6}\pi}$

よって

$\displaystyle{\sin t=\frac{1}{2}　\left(-\frac{\pi}{6}≦t<\frac{11}{6}\pi\right)}$

$\displaystyle{-\frac{\pi}{6}≦t<\frac{11}{6}\pi}$　の範囲で　 $\displaystyle{\sin t=\frac{1}{2}}$　を解くと

$\displaystyle{t=\frac{\pi}{6}，\frac{5}{6}\pi}$

$\displaystyle{\theta-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}，\frac{5}{6}\pi}$

よって

$\displaystyle{\theta-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}}$　より　$\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{3}}$

$\displaystyle{\theta-\frac{\pi}{6}=\frac{5}{6}\pi}$　より　$\theta=\pi$

したがって

$\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{3}，\pi}$

$0≦\theta<2\pi$ のとき，方程式 $\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta=1$ を解け。

左辺の　$\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta$　を合成すると

$\displaystyle{\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta=2\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)}$

よって

$ \sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta=1$

$\displaystyle{2\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)=1}$

$\displaystyle{\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}}$

$\displaystyle{\theta+\frac{\pi}{3}=t}$　とすると

$\displaystyle{\sin t=\frac{1}{2}}$

$0≦\theta<2\pi$　より

$0≦\theta<2\pi$

$\displaystyle{0+\frac{\pi}{3}≦\theta+\frac{\pi}{3}<2\pi+\frac{\pi}{3}}$

$\displaystyle{\frac{\pi}{3}≦\theta+\frac{\pi}{3}<\frac{7}{3}\pi}$

$\displaystyle{\frac{\pi}{3}≦t<\frac{7}{3}\pi}$

よって

$\displaystyle{\sin t=\frac{1}{2}　\left(\frac{\pi}{3}≦t<\frac{7}{3}\pi\right)}$

$\displaystyle{\frac{\pi}{3}≦t<\frac{7}{3}\pi}$　の範囲で　 $\displaystyle{\sin t=\frac{1}{2}}$　を解くと

$\displaystyle{t=\frac{5}{6}\pi，\frac{13}{6}\pi}$

$\displaystyle{\theta+\frac{\pi}{3}=\frac{5}{6}\pi，\frac{13}{6}\pi}$

よって

$\displaystyle{\theta+\frac{\pi}{3}=\frac{5}{6}\pi}$　より　$\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{2}}$

$\displaystyle{\theta+\frac{\pi}{3}=\frac{13}{6}\pi}$　より　$\displaystyle{\theta=\frac{11}{6}\pi}$

したがって

$\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{2}，\frac{11}{6}\pi}$

＜NGの解答＞

$\displaystyle{\sin t=\frac{1}{2}　\left(\frac{\pi}{3}≦t<\frac{7}{3}\pi\right)}$

$\displaystyle{t=\frac{\pi}{6}，\frac{5}{6}\pi}$

$\displaystyle{\frac{\pi}{3}≦t<\frac{7}{3}\pi}$　の範囲に　 $\displaystyle{\frac{\pi}{6}}$　が存在しないので×

$0≦\theta<2\pi$ のとき，次の方程式を解け。

(1)　$\displaystyle{\sin\theta+\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}}$

(2)　$\sin\theta-\sqrt{3}\cos\theta=-1$

(1)　$\displaystyle{\sin\theta+\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}}$

左辺の　$\sin\theta+\cos\theta $　を合成すると

$\displaystyle{\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}$

よって

$\displaystyle{\sin\theta+\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}}$

$\displaystyle{\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}}$

$\displaystyle{\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}}$

$\displaystyle{\theta+\frac{\pi}{4}=t}$　とすると

$\displaystyle{\sin t=\frac{1}{2}}$

$0≦\theta<2\pi$　より

$0≦\theta<2\pi$

$\displaystyle{0+\frac{\pi}{4}≦\theta+\frac{\pi}{4}<2\pi+\frac{\pi}{4}}$

$\displaystyle{\frac{\pi}{4}≦\theta+\frac{\pi}{4}<\frac{9}{4}\pi}$

$\displaystyle{\frac{\pi}{4}≦t<\frac{9}{4}\pi}$

よって

$\displaystyle{\sin t=\frac{1}{2}　\left(\frac{\pi}{4}≦t<\frac{9}{4}\pi\right)}$

$\displaystyle{\frac{\pi}{4}≦t<\frac{9}{4}\pi}$　の範囲で　 $\displaystyle{\sin t=\frac{1}{2}}$　を解くと

$\displaystyle{t=\frac{5}{6}\pi，\frac{13}{6}\pi}$

$\displaystyle{\theta+\frac{\pi}{4}=\frac{5}{6}\pi，\frac{13}{6}\pi}$

よって

$\displaystyle{\theta+\frac{\pi}{4}=\frac{5}{6}\pi}$　より　$\displaystyle{\theta=\frac{7}{12}\pi}$

$\displaystyle{\theta+\frac{\pi}{4}=\frac{13}{6}\pi}$　より　$\displaystyle{\theta=\frac{23}{12}\pi}$

したがって

$\displaystyle{\theta=\frac{7}{12}\pi，\frac{23}{12}\pi}$

　

(2)　$\sin\theta-\sqrt{3}\cos\theta=-1$

左辺の　$\sin\theta-\sqrt{3}\cos\theta $　を合成すると

$\displaystyle{\sin\theta-\sqrt{3}\cos\theta=2\sin\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)}$

よって

$\sin\theta-\sqrt{3}\cos\theta=-1$

$\displaystyle{2\sin\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)=-1}$

$\displaystyle{\sin\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}}$

$\displaystyle{\theta-\frac{\pi}{3}=t}$　とすると

$\displaystyle{\sin t=-\frac{1}{2}}$

$0≦\theta<2\pi$　より

$0≦\theta<2\pi$

$\displaystyle{0-\frac{\pi}{3}≦\theta-\frac{\pi}{3}<2\pi-\frac{\pi}{3}}$

$\displaystyle{-\frac{\pi}{3}≦\theta-\frac{\pi}{3}<\frac{5}{3}\pi}$

$\displaystyle{-\frac{\pi}{3}≦t<\frac{5}{3}\pi}$

よって

$\displaystyle{\sin t=-\frac{1}{2}　\left(-\frac{\pi}{3}≦t<\frac{5}{3}\pi\right)}$

$\displaystyle{-\frac{\pi}{3}≦t<\frac{5}{3}\pi}$　の範囲で　 $\displaystyle{\sin t=-\frac{1}{2}}$　を解くと

$\displaystyle{t=-\frac{\pi}{6}，\frac{7}{6}\pi}$

$\displaystyle{\theta-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}，\frac{7}{6}\pi}$

よって

$\displaystyle{\theta-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}}$　より　$\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{6}}$

$\displaystyle{\theta-\frac{\pi}{3}=\frac{7}{6}\pi}$　より　$\displaystyle{\theta=\frac{3}{2}\pi}$

したがって

$\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{6}，\frac{3}{2}\pi}$