関数の極大・極小

関数の極大・極小

３次関数 $f(x)=x^3-3x$ のグラフは以下のようになる

$x=-1$ を境目にして増加から減少に移るとき，

$x=-1$ で極大である

$x=-1$ で極大値 $2$ をとる

という

$x=1$ を境目にして減少から増加に移るとき，

$x=1$ で極小である

$x=1$ で極小値 $-2$ をとる

という

極大値と極小値をまとめて　極値　という

３次関数の極大・極小

　導関数 $f^{\prime }(x)$ を求めると

$f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$

　$f^{\prime }(x)=0$ を求めると

$3x(x-2)=0$

$x=0，2$

　$f^{\prime }(x)$ のグラフをかくと

　増減表をかくと

　したがって

$x=0$ で極大値 $3$

$x=2$ で極小値 $-1$

　グラフは

増減表で極値は求まるので，グラフはかかなくてもよい

　導関数 $f^{\prime }(x)$ を求めると

$f^{\prime }(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)$

　$f^{\prime }(x)=0$ を求めると

$-3x(x-2)=0$

$x=0，2$

　$f^{\prime }(x)$ のグラフをかくと

　増減表をかくと

　したがって

$x=2$ で極大値 $2$

$x=0$ で極小値 $-2$

　グラフは

増減表で極値は求まるので，グラフはかかなくてもよい

極値をもたない場合

　導関数 $f^{\prime }(x)$ を求めると

$f^{\prime }(x)=3x^2$

　$f^{\prime }(x)=0$ を求めると

$3x^2=0$

$x=0$

　$f^{\prime }(x)$ のグラフをかくと

　増減表をかくと

　関数 $f(x)$ は常に増加する

　つまり，増減が入れかわらないので

$f(x)$ は極値をもたない

　グラフは

　導関数 $f^{\prime }(x)$ を求めると

$f^{\prime }(x)=-3x^2-1$

　$f^{\prime }(x)=0$ を求めると

$3x^2=-1$

この方程式は実数解をもたない

　$f^{\prime }(x)$ のグラフをかくと

$f^{\prime }(x)=0$ が実数解をもたないので，$f^{\prime }(x)$ は $x$ 軸と共有点をもたない

　増減表をかくと

　関数 $f(x)$ は常に減少する

　つまり，増減が入れかわらないので

$f(x)$ は極値をもたない

　グラフは

まとめ

● 関数の極大・極小

　増加から減少に入れかわるところを極大

　減少から増加に入れかわるところを極小

● 極値をもたない場合

　関数が　常に増加する　または　常に減少する　ときは

　増減が入れかわらないので極値をもたない