ベクトルの減法

ベクトルの減法
$\vec{a} - \vec{b}$ の図示
ベクトルの差の分解
まとめ

ベクトルの減法

ベクトルの減法は加法から考えることが重要！

ベクトルの加法

$\vec{O A} + \vec{A B} = \vec{O B}$

この式を変形すると

$\vec{O B} - \vec{O A} = \vec{A B}$

という式が作れる

$\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ として，図にしてみると

逆に

$\vec{A B} = \vec{b} - \vec{a}$

とすると

$\vec{B A} = - (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{a} - \vec{b}$

と表せるので

$\vec{a} - \vec{b}$ と $\vec{b} - \vec{a}$ のどっちがどっちか分からなくなりそう…

そうだよね！

ベクトルの減法は苦手な人が多いところだよ！

ポイントは「加法で考えること」！

$\vec{O A} - \vec{O B}$ 　は　 $\vec{A B}$ 　と　 $\vec{B A}$ 　のどっち？

加法に変形して式変形すると

\begin{array}{rcl} \vec{O A} - \vec{O B} & = & \vec{O A} + (- \vec{O B}) \\ = & \vec{O A} + \vec{B O} \\ = & \vec{B O} + \vec{O A} \\ = & \vec{B A} \end{array}

加法にすることが大切だね！

$\vec{a} - \vec{b}$ の図示

加法を用いると $\vec{a} - \vec{b}$ の図示も簡単だよ！

\vec{a} - \vec{b}

を図示せよ。

$\vec{a} - \vec{b}$ を式変形する

$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (- \vec{b})$

つまり， $\vec{a}$ と $- \vec{b}$ の和が $\vec{a} - \vec{b}$

ベクトルの差の分解

ベクトルの問題で使う場面が多い「差の分解」をマスターしよう！

ベクトルの「差の分解」とは

例えば

$\vec{A B}$ 　を　 $\vec{O B} - \vec{O A}$ 　に変形すること

$\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A}$ 　になる理由は加法で説明できる

\begin{array}{rcl} \vec{O B} - \vec{O A} & = & \vec{O B} - (- \vec{A O}) \\ = & \vec{O B} + \vec{A O} \\ = & \vec{A O} + \vec{O B} \\ = & \vec{A B} \end{array}

同様に， $\vec{O C} - \vec{O D}$ を計算してみると

\begin{array}{rcl} \vec{O C} - \vec{O D} & = & \vec{O C} - (- \vec{D O}) \\ = & \vec{O C} + \vec{D O} \\ = & \vec{D O} + \vec{O C} \\ = & \vec{D C} \end{array}

以上より，

$\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A}$

$\vec{D C} = \vec{O C} - \vec{O D}$

共通点を見ていると

$\vec{△ □} = \vec{O □} - \vec{O △}$

となることが分かる

つまり

$\vec{B C} = \vec{O C} - \vec{O B}$

$\vec{F E} = \vec{O E} - \vec{O F}$

「後ー前」や「終点ー始点」で覚えよう！

右辺の始点は $O$ である必要があるか考えてみる

始点を $P$ にして　 $\vec{P B} - \vec{P A}$ を考えてみると

\begin{array}{rcl} \vec{P B} - \vec{P A} & = & \vec{P B} - (- \vec{A P}) \\ = & \vec{P B} + \vec{A P} \\ = & \vec{A P} + \vec{P B} \\ = & \vec{A B} \end{array}

$\vec{A B} = \vec{P B} - \vec{P A}$ 　であることが分かる

以上より

$\vec{△ □} = \vec{● □} - \vec{● △}$

と表せる

ベクトルの差の分解

\vec{△ □} = \vec{● □} - \vec{● △}

$\vec{A B}$ に差の分解を用いると

$\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A}$

$\vec{A B} = \vec{P B} - \vec{P A}$

$\vec{A B} = \vec{C B} - \vec{C A}$

$\vec{A B} = \vec{G B} - \vec{G A}$

など

始点を自由に定めることができる

ベクトルの差の分解を用いると，始点も自由に決められる！

問題に合った始点を定めることが大切！

まとめ

● ベクトルの減法

$\vec{O B} - \vec{O A} = \vec{A B}$

● $\vec{a} - \vec{b}$ の図示

　 $\vec{a} + (- \vec{b})$ 　として考えることがポイント

● ベクトルの差の分解

　 $\vec{△ □} = \vec{● □} - \vec{● △}$

ポイントをおさえれば，ベクトルの減法は簡単！

ベクトルの減法

a→−b→ の図示

ベクトルの差の分解

まとめ

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$\vec{a} - \vec{b}$ の図示