ベクトルの内積

ベクトルの内積

なす角 $\theta$ は「始点を合わせたときの角度」のこと

また，$0^\circ≦\theta≦180^\circ$

　

ベクトルの内積の意味

ベクトルの内積の数学的な意味と物理的な意味を学ぼう！

enjoy-mathematics.com

2021.08.27

内積の計算

(1)　$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$

\begin{eqnarray} \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} &=& |\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos60^\circ \\ &=& 2\cdot1\cdot\frac{1}{2} \\ &=& 1 \end{eqnarray}

(2)　$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CB}$

　始点をそろえるために $\overrightarrow{CB}$ を平行移動すると

　なす角は　$150^\circ$　となる

\begin{eqnarray} \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CB} &=& |\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{CB}|\cos150^\circ \\ &=& 2\cdot\sqrt{3}\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &=& -3 \end{eqnarray}

(3)　$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BC}$

　始点をそろえるために $\overrightarrow{BC}$ を平行移動すると

　なす角は　$90^\circ$　となる

\begin{eqnarray} \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BC} &=& |\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{BC}|\cos90^\circ \\ &=& 1\cdot\sqrt{3}\cdot0 \\ &=& 0 \end{eqnarray}

　

成分表示における内積

成分表示の復習はこれ↓

ベクトルの成分表示

ベクトルの成分表示の基本をおさえてベクトルの理解を深めよう！

enjoy-mathematics.com

2021.08.28

$\triangle OAB$ において，$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$， $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ とする

余弦定理を用いると，

$BA^2=OA^2+OB^2-2\cdot OA\cdot OB\cos\theta$

$\overrightarrow{BA}=\vec{a}-\vec{b}$ より（ベクトルの減法）

$|\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ より

$|\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}$　$\cdots$　①

ここで，$\vec{a}=(a_1，a_2)$，$\vec{b}=(b_1，b_2)$ とすると

$\vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1，a_2-b_2)$ なので，

$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$

$|\vec{b}|=\sqrt{b_1^2+b_2^2}$

$|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2}$

①より

$(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2=(a_1^2+a_2^2)+(b_1^2+b_2^2)-2\vec{a}\cdot\vec{b}$

これを整理すると

$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$

\begin{eqnarray} \vec{a}\cdot\vec{b} &=& 2\cdot3+(-1)\cdot2 \\ &=& 4\\ \end{eqnarray}

ベクトルのなす角

ベクトルのなす角を求めたいとき，内積の式

$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

を使うことができる

なす角 $\theta$ を求めるので，この式を変形して

$\displaystyle{\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}}$

の形で用いた方がよい

ただし， $0^\circ≦\theta≦180^\circ$

$\vec{a}\cdot\vec{b}=2\cdot(-3)+1\cdot1=-5$

$|\vec{a}|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$

$|\vec{b}|=\sqrt{(-3)^2+1^2}=\sqrt{10}$

よって

$\displaystyle{\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{-5}{\sqrt{5}\sqrt{10}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}}$

$0^\circ≦\theta≦180^\circ$ なので

$\theta=135^\circ$

　

垂直条件

$\vec{0}$ でない２つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角が $90^\circ$ のとき

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は垂直であるといい

$\vec{a}\perp\vec{b}$

とかく

$\vec{a}\perp\vec{b}$ のとき，内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ を計算すると

$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos90^\circ$

$\cos90^\circ=0$ なので，$|\vec{a}|$ と $|\vec{b}|$ がどのような値でも

$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$

が成り立つ

逆に， $\vec{0}$ でない２つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ について

$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$

となるのは， $\vec{a}\perp\vec{b}$ のときである

　

　

　

　$\vec{a}\perp\vec{b}$ より，$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$

$2x+3\cdot4=0$

$x=-6$

　

まとめ

● ベクトルの内積

　$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると

$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

　ただし，$0^\circ≦\theta≦180^\circ$

● 成分表示における内積

　$\vec{a}=(a_1，a_2)$，$\vec{b}=(b_1，b_2)$ のとき

$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$

● ベクトルのなす角を求める式

　内積の式を変形した式

$\displaystyle{\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}}$

● ベクトルの垂直条件

　$\vec{a}≠\vec{0}$，$\vec{b}≠\vec{0}$ のとき

$\vec{a}\perp\vec{b}　\iff　\vec{a}\cdot\vec{b}=0$