内積の利用

ベクトルの内積
内積の性質
大きさの２乗と内積の計算
内積の利用
まとめ

ベクトルの内積

　 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $θ$ とすると

$\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ$

なす角 $θ$ は「始点を合わせたときの角度」のこと

また， $0^{\circ} ≦ θ ≦ 180^{\circ}$

内積の基本はこれ↓

ベクトルの内積の意味

ベクトルの内積の数学的な意味と物理的な意味を学ぼう！

ベクトルの内積

これを見れば完璧！内積の基本を一気に復習しよう！

内積の性質

　１　 $\vec{a} \cdot \vec{a} = | \vec{a} |^{2}$

　２　 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$

　３　 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$

　４　 $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$

　５　 $(k \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot k \vec{b} = k (\vec{a} \cdot \vec{b})$ 　　 $k$ は定数

１　 $\vec{a} \cdot \vec{a} = | \vec{a} |^{2}$

　 $\vec{a}$ と $\vec{a}$ のなす角は $0^{\circ}$

　 $\cos 0^{\circ} = 1$ なので

$\vec{a} \cdot \vec{a} = | \vec{a} | | \vec{a} | \cos 0^{\circ} = | \vec{a} |^{2}$

３　 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$

　 $\vec{a} = (a_{1} ， a_{2})$ ， $\vec{b} = (b_{1} ， b_{2})$ ， $\vec{c} = (c_{1} ， c_{2})$ とする

\begin{array}{rcl} (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} & = & (a_{1} + b_{1}) c_{1} + (a_{2} + b_{2}) c_{2} \\ = & a_{1} c_{1} + b_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + b_{2} c_{2} \\ = & (a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2}) + (b_{1} c_{1} + b_{2} c_{2}) \\ = & \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} \end{array}

２，４，５も同様にして示すことができる

文字式の計算とほとんど同じだね！

だから，あまり違和感なく計算できるよ！

１　 $\vec{a} \cdot \vec{a} = | \vec{a} |^{2}$ 　だけはベクトル特有だから注意！

大きさの２乗と内積の計算

$| 〇 |^{2}$ や内積の計算について考えてみよう！

| \vec{a} + \vec{b} |^{2}

を計算

\begin{array}{rcl} | \vec{a} + \vec{b} |^{2} & = & (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) （ 性 質 １ ） \\ = & \vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) （ 性 質 ３ ） \\ = & \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} （ 性 質 ４ ） \\ = & | \vec{a} |^{2} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{b} + | \vec{b} |^{2} （ 性 質 １ ） （ 性 質 ２ ） \\ = & | \vec{a} |^{2} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + | \vec{b} |^{2} \end{array}

以上より

$| \vec{a} + \vec{b} |^{2} = | \vec{a} |^{2} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + | \vec{b} |^{2}$

が成り立つ

これは

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

の式と似通っている

他の例も考えてみよう

| 2 \vec{a} - \vec{b} |^{2}

を計算

\begin{array}{rcl} | 2 \vec{a} - \vec{b} |^{2} & = & (2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} - \vec{b}) （ 性 質 １ ） \\ = & 2 \vec{a} \cdot (2 \vec{a} - \vec{b}) - \vec{b} \cdot (2 \vec{a} - \vec{b}) （ 性 質 ３ ） \\ = & 4 \vec{a} \cdot \vec{a} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot (2 \vec{a}) + \vec{b} \cdot \vec{b} （ 性 質 ４ ） \\ = & 4 | \vec{a} |^{2} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + | \vec{b} |^{2} （ 性 質 １ ） （ 性 質 ２ ） （ 性 質 ５ ） \\ = & 4 | \vec{a} |^{2} - 4 \vec{a} \cdot \vec{b} + | \vec{b} |^{2} \end{array}

これは

$(2 a - b)^{2} = 4 a^{2} - 4 a b + b^{2}$

と似通っている

(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})

を計算

\begin{array}{rcl} (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) & = & \vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) + \vec{b} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) （ 性 質 ３ ） \\ = & \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot (\vec{a}) - \vec{b} \cdot \vec{b} （ 性 質 ４ ） \\ = & | \vec{a} |^{2} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{b} - | \vec{b} |^{2} （ 性 質 １ ） （ 性 質 ２ ） \\ = & | \vec{a} |^{2} - | \vec{b} |^{2} \end{array}

これは

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

と似通っている

以上より

$(a + 2 b)^{2} = a^{2} + 4 a b + 4 b^{2}$ だから

$| \vec{a} + 2 \vec{b} |^{2} = | \vec{a} |^{2} + 4 \vec{a} \cdot \vec{b} + 4 | \vec{b} |^{2}$

$(2 a + b) (2 a - b) = 4 a^{2} - b^{2}$ だから

$(2 \vec{a} + \vec{b}) (2 \vec{a} - \vec{b}) = 4 | \vec{a} |^{2} - | \vec{b} |^{2}$

など

展開の式を参考にして計算を省略できる

内積の利用

内積を利用して問題を解いてみよう！

| \vec{a} | = 2

，

| \vec{b} | = 3

，

\vec{a} \cdot \vec{b} = 1

のとき，

| 2 \vec{a} - \vec{b} |

の値を求めよ。

\begin{array}{rcl} | 2 \vec{a} - \vec{b} | & = & 4 | \vec{a} |^{2} - 4 \vec{a} \cdot \vec{b} + | \vec{b} |^{2} \\ = & 4 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 1 + 3^{2} \\ = & 21 \end{array}

　 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | ≧ 0$ より

$| 2 \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{21}$

ベクトルの大きさに関する問題は，２乗して考えることが多い！

　平行四辺形 $A B C D$ において，次のことが成り立つことを証明せよ。

$A C = D B$ 　ならば　 $A B ⊥ A D$

$\vec{A B} = \vec{b}$ ， $\vec{A D} = \vec{d}$ とすると

$\vec{A C} = \vec{b} + \vec{d}$ ， $\vec{D B} = \vec{b} - \vec{d}$

$A C = D B$ ならば， $| \vec{A C} | = | \vec{D B} |$ であるから

$| \vec{b} + \vec{d} | = | \vec{b} - \vec{d} |$

両辺２乗して

$| \vec{b} + \vec{d} |^{2} = | \vec{b} - \vec{d} |^{2}$

$| \vec{b} |^{2} + 2 \vec{b} \cdot \vec{d} + | \vec{d} |^{2} = | \vec{b} |^{2} - 2 \vec{b} \cdot \vec{d} + | \vec{d} |^{2}$

よって

$\vec{b} \cdot \vec{d} = 0$

したがって， $\vec{A B} ⊥ \vec{A D}$ となるので（垂直条件）

$A B ⊥ A D$

$A B ⊥ A D$ を示すために， $\vec{A B} = \vec{b}$ ， $\vec{A D} = \vec{d}$ として， $\vec{b} \cdot \vec{d}$ を示す！

まとめ

● 内積の性質

　１　 $\vec{a} \cdot \vec{a} = | \vec{a} |^{2}$

　２　 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$

　３　 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$

　４　 $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$

　５　 $(k \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot k \vec{b} = k (\vec{a} \cdot \vec{b})$ 　　 $k$ は定数

内積を用いた計算は超重要！