ベクトルの内積
$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると
$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$
なす角 $\theta$ は「始点を合わせたときの角度」のこと
また，$0^\circ≦\theta≦180^\circ$
内積の基本はこれ↓
内積の性質
１ $\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$
２ $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$
３ $(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}$
４ $\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}$
５ $(k\vec{a})\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot k\vec{b}=k(\vec{a}\cdot\vec{b})$ $k$ は定数
１ $\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$
$\vec{a}$ と $\vec{a}$ のなす角は $0^\circ$
$\cos0^\circ=1$ なので
$\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}||\vec{a}|\cos0^\circ=|\vec{a}|^2$
３ $(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}$
$\vec{a}=(a_1，a_2)$，$\vec{b}=(b_1，b_2)$，$\vec{c}=(c_1，c_2)$ とする
\begin{eqnarray} (\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c} &=& (a_1+b_1)c_1+(a_2+b_2)c_2 \\ &=& a_1c_1+b_1c_1+a_2c_2+b_2c_2\\ &=& (a_1c_1+a_2c_2)+(b_1c_1+b_2c_2)\\ &=& \vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}\\ \end{eqnarray}２，４，５も同様にして示すことができる
文字式の計算とほとんど同じだね！
だから，あまり違和感なく計算できるよ！
１ $\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$ だけはベクトル特有だから注意！
大きさの２乗と内積の計算
$|〇|^2$ や内積の計算について考えてみよう！
以上より
$|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2$
が成り立つ
これは
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
の式と似通っている
他の例も考えてみよう
これは
$(2a-b)^2=4a^2-4ab+b^2$
と似通っている
これは
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
と似通っている
以上より
$(a+2b)^2=a^2+4ab+4b^2$ だから
$|\vec{a}+2\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+4\vec{a}\cdot\vec{b}+4|\vec{b}|^2$
$(2a+b)(2a-b)=4a^2-b^2$ だから
$(2\vec{a}+\vec{b})(2\vec{a}-\vec{b}) =4|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2$
など
展開の式を参考にして計算を省略できる
内積の利用
内積を利用して問題を解いてみよう！
$|2\vec{a}-\vec{b}|≧0$ より
$|2\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{21}$
ベクトルの大きさに関する問題は，２乗して考えることが多い！
平行四辺形 $ABCD$ において，次のことが成り立つことを証明せよ。
$AC=DB$ ならば $AB \perp AD$
$\overrightarrow{AB}=\vec{b}$，$\overrightarrow{AD}=\vec{d}$ とすると
$\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$，$\overrightarrow{DB}=\vec{b}-\vec{d}$
$AC=DB$ ならば，$|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{DB}|$ であるから
$|\vec{b}+\vec{d}|=|\vec{b}-\vec{d}|$
両辺２乗して
$|\vec{b}+\vec{d}|^2=|\vec{b}-\vec{d}|^2$
$|\vec{b}|^2+2\vec{b}\cdot\vec{d}+|\vec{d}|^2=|\vec{b}|^2-2\vec{b}\cdot\vec{d}+|\vec{d}|^2$
よって
$\vec{b}\cdot\vec{d}=0$
したがって，$\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AD}$ となるので（垂直条件）
$AB \perp AD$
$AB \perp AD$ を示すために，$\overrightarrow{AB}=\vec{b}$，$\overrightarrow{AD}=\vec{d}$ として，$\vec{b}\cdot\vec{d}$ を示す！
まとめ
● 内積の性質
１ $\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$
２ $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$
３ $(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}$
４ $\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}$
５ $(k\vec{a})\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot k\vec{b}=k(\vec{a}\cdot\vec{b})$ $k$ は定数
内積を用いた計算は超重要！
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