２直線の交点におけるベクトル

１次独立なベクトル

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は１次独立

$\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}$

内分点におけるベクトル

$\triangle ABC$ において，線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点を $P$ とするとき

$\displaystyle{\overrightarrow{OP}=\frac{n\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}}{m+n}}$

「内分点におけるベクトル」詳しくはこれ↓

内分点と外分点におけるベクトル

内分点と外分点におけるベクトルを表す方法を学ぼう！

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2021.08.31

２直線の交点におけるベクトル①

例えば

$\triangle ABC$ について，線分 $AB$ 上に点 $P$ があるとき

$AP:PB=s:(1-s)$ とおくと（$s$ は実数）

\begin{eqnarray} \overrightarrow{OP} &=& \frac{(1-s)\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{OB}}{s+(1-s)} \\\\ &=& (1-s)\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{OB} \end{eqnarray}

点 $C$ は辺 $OA$ の中点なので

$\displaystyle{\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\vec{a}}$

点 $D$ は辺 $OB$ を $1:2$ に内分する点なので

$\displaystyle{\overrightarrow{OD}=\frac{1}{3}\vec{b}}$

$AP:PD=s:(1-s)$ とすると （$s$ は実数）

\begin{eqnarray} \overrightarrow{OP} &=& \frac{(1-s)\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{OD}}{s+(1-s)} \\\\ &=& (1-s)\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{OD} \\\\ &=& (1-s)\vec{a}+\frac{1}{3}s\vec{b}　\cdots\cdots　① \end{eqnarray}

$BP:PC=t:(1-t)$ とすると （$t$ は実数）

\begin{eqnarray} \overrightarrow{OP} &=& \frac{t\overrightarrow{OC}+(1-t)\overrightarrow{OB}}{(1-t)+t} \\\\ &=& t\overrightarrow{OC}+(1-t)\overrightarrow{OB} \\\\ &=& \frac{1}{2}t\vec{a}+(1-t)\vec{b}　\cdots\cdots　② \end{eqnarray}

$\vec{a}$，$\vec{b}$ は一次独立なので，$\overrightarrow{OP}$ の表し方は１通りに定まる

①と②より，$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の係数を比較して

\begin{cases} 1-s=\frac{1}{2}t \\\\ \frac{1}{3}s=1-t \end{cases}

これを解いて

$\displaystyle{s=\frac{3}{5}}$，$\displaystyle{t=\frac{4}{5}}$

①または②に代入して

$\displaystyle{\overrightarrow{OP}=\frac{2}{5}\vec{a}+\frac{1}{5}\vec{b}}$

　

２直線の交点におけるベクトル②

　

点 $C$ は辺 $OA$ の中点なので

$\displaystyle{\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\vec{a}}$

点 $D$ は辺 $AB$ を $1:2$ に内分する点なので

\begin{eqnarray} \overrightarrow{OD} &=& \frac{2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{1+2} \\\\ &=& \frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b} \\\\ \end{eqnarray}

$BP:PC=t:(1-t)$ とすると （$t$ は実数）

\begin{eqnarray} \overrightarrow{OP} &=& \frac{t\overrightarrow{OC}+(1-t)\overrightarrow{OB}}{(1-t)+t} \\\\ &=& t\overrightarrow{OC}+(1-t)\overrightarrow{OB} \\\\ &=& \frac{1}{2}t\vec{a}+(1-t)\vec{b}　\cdots\cdots　① \end{eqnarray}

点 $P$ は線分 $OD$ 上にあるので

$\overrightarrow{OP}=k\overrightarrow{OD}$ とすると（$k$ は実数）

\begin{eqnarray} \overrightarrow{OP} &=& k\overrightarrow{OD} \\\\ &=& k(\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}) \\\\ &=& \frac{2}{3}k\vec{a}+\frac{1}{3}k\vec{b}　\cdots\cdots　② \end{eqnarray}

$\vec{a}$，$\vec{b}$ は一次独立なので，$\overrightarrow{OP}$ の表し方は１通りに定まる

①と②より，$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の係数を比較して

\begin{cases} \frac{1}{2}t=\frac{2}{3}k \\\\ 1-t=\frac{1}{3}k \end{cases}

これを解いて

$\displaystyle{t=\frac{4}{5}}$，$\displaystyle{k=\frac{3}{5}}$

①または②に代入して

$\displaystyle{\overrightarrow{OP}=\frac{2}{5}\vec{a}+\frac{1}{5}\vec{b}}$

まとめ

● １次独立なベクトル

　$0$ ではない２つのベクトル $\vec{a}$，$\vec{b}$ が平行でないとき，$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は１次独立という

● 平面上のベクトル

　１次独立な２つのベクトルを用いて平面上のベクトルを表したとき，表し方は１通りに定まる

● ２直線の交点におけるベクトル

　ベクトルを２通りで表して係数比較

　表し方は　①比をおく　②定数倍（$k$ 倍）　を用いる