ベクトルが表す点の存在範囲①

ベクトルが表す点の存在範囲

１　　$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$　　$s+t=1$

点 $P$ は直線 $AB$ 上

　

２　　$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$　　$s≧0，t≧0，s+t=1$

点 $P$ は線分 $AB$ 上

　

３　　$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$　　$s≧0，t≧0，s+t≦1$

点 $P$ は$\triangle OAB$ の周および内部

　

４　　$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$　　　$0≦s≦1，0≦t≦1$　

点 $P$ は平行四辺形 $OACB$ の周および内部

ただし，点 $C$ は $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BC}$ を満たす点

　

直線 $AB$ 上の場合

１　　$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$　　$s+t=1$

点 $P$ は直線 $AB$ 上

　

$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$　　$s+t=1$

を簡単にすると

内分点におけるベクトルを考えてみると

　

　

外分点におけるベクトルを考えてみると

　

● 内分点におけるベクトル

● 外分点におけるベクトル

　

以上より

内分点と外分点におけるベクトルは「係数和が１」になる

つまり

点 $P$ が辺 $AB$ の内分点または外分点の場合は 「係数和が１」になる

$s=1，t=0$ のとき

$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}$

点 $P$ は点 $A$ と一致する

$s=0，t=1$ のとき

$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OB}$

点 $P$ は点 $B$ と一致する

よって

$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$　　$s+t=1$

のとき

点 $P$ は直線 $AB$ 上

線分 $AB$ 上の場合

２　　$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$　　$s≧0，t≧0，s+t=1$

点 $P$ は線分 $AB$ 上

　

１　　$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$　　$s+t=1$

の条件に

$s≧0，t≧0$

「係数がともに $0$ 以上」という条件が加わったと考えればよい

$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$　　$s≧0，t≧0，s+t=1$

を簡単にすると

正確には係数が $0$ 以上

内分点におけるベクトルの場合は

「係数がともに正」になる

外分点におけるベクトルの場合は

$m>n$ のとき

$m<n$ のとき

「係数のどちらかが負」になる

よって

点 $P$ が辺 $AB$ の内分点の場合「係数和が１」かつ「係数がともに正」である

$s=1，t=0$ のとき

$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}

点 $P$ は点 $A$ と一致する

$s=0，t=1$ のとき

$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OB}

点 $P$ は点 $B$ と一致する

したがって

$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$　　$s≧0，t≧0，s+t=1$

のとき

点 $P$ は線分 $AB$ 上

存在範囲の利用

辺 $OB$ を $2:1$ に内分した点を $C$ なので

$\displaystyle{\overrightarrow{OC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}}$

線分 $AC$ を $3:1$ に内分した点を $D$ なので

\begin{eqnarray} \overrightarrow{OD} &=& \frac{\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OC}}{3+1} \\\\ &=& \frac{\overrightarrow{OA}+3\cdot\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}}{3+1} \\\\ &=& \frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB} \end{eqnarray}

直線 $OD$ 上に点 $P$ があるので，

$\overrightarrow{OP}=k\overrightarrow{OD}$（$k$ は実数）

と表せる

\begin{eqnarray} \overrightarrow{OP} &=& k(\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}) \\\\ &=& \frac{1}{4}k\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}k\overrightarrow{OB} \end{eqnarray}

点 $P$ は直線 $AB$ 上にあるので

\begin{eqnarray} \frac{1}{4}k+\frac{1}{2}k &=& 1 \\\\ k &=& \frac{4}{3} \end{eqnarray}

したがって

$\displaystyle{\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}}$

　

まとめ

● $\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$　　$s+t=1$

点 $P$ は直線 $AB$ 上

● $\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$　　$s≧0，t≧0，s+t=1$

正確には係数が $0$ 以上

点 $P$ は線分 $AB$ 上