和の記号Σ

和の記号Σ

数列 $\{a_n\}$ について，初項から第 $n$ 項までの和を，第 $k$ 項 $a_k$ と和の記号Σを用いて

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}a_k}$

と表す

　

一般に

$\displaystyle{\sum_{k=○}^{□}a_k}$

は，数列 $\{a_k\}$ の第○項から第□項までの和を表す

つまり，$k=○$ から $k=□$ までを順に $a_k$ に代入して足し合わせたものを表す

$k$ の代わりに

$\displaystyle{\sum_{i=○}^{□}a_i}$

や

$\displaystyle{\sum_{j=○}^{□}a_j}$

のように別の文字を用いてもよい

　

　(1)　$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k}$

$k=1$ から $k=n$ までを順に $k$ に代入して足し合わせたもの

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+\cdots\cdots+n}$

　(2)　$\displaystyle{\sum_{k=2}^{8}(2k-1)}$

$k=2$ から $k=20$ までを順に $2k-1$ に代入して足し合わせたもの

$\displaystyle{\sum_{k=2}^{20}(2k-1)=3+5+7+\cdots\cdots+39}$

　(3)　$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1}2^k}$

$k=1$ から $k=n-1$ までを順に $2^k$ に代入して足し合わせたもの

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1}2^k=2^1+2^2+2^3+\cdots\cdots+2^{n-1}}$

　

和をΣで表す

$\displaystyle{\sum_{k=2}^{14}k}$

$\displaystyle{\sum_{i=2}^{14}i}$

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{13}(k+1)}$

自然数に関する和の公式

　

● $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}c=nc}$

　$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}c}$ は $c$ という定数の数列を初項から第 $n$ 項までの $n$ 個を足し合わせたもの

　

● $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)}$

　$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k}$ は $k=1$ から $k=n$ を順に $k$ に代入して足し合わせたものなので

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+\cdots\cdots+n}$

　ここで，　$1+2+3+\cdots\cdots+n$　を考えると

　初項 $1$，末項 $n$，項数 $n$ の等差数列の和

　等差数列の和の公式より，初項 $a$，末項 $l$，項数 $n$ の等差数列の和は

$\displaystyle{\frac{1}{2}n(a+l)}$　なので

$\displaystyle{1+2+3+\cdots\cdots+n=\frac{1}{2}n(n+1)}$

　したがって，

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)}$

　

● $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}$

　$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k^2}$ は $k=1$ から $k=n$ を順に $k^2$ に代入して足し合わせたものなので

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k^2=1^2+2^2+3^2+\cdots\cdots+n^2}$

　つまり， $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k^2}$ は自然数の $2$ 乗の和

　恒等式　$k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1$　を利用する

　$k$ に $1$ から $n$ までを順に代入すると

\begin{eqnarray} k&=&1　　　　1^3-0^3 &=& 3\cdot 1^3-3\cdot1+1 \\\\ k&=&2　　　　2^3-1^3 &=& 3\cdot 2^3-3\cdot2+1 \\\\ k&=&3　　　　3^3-2^3 &=& 3\cdot 3^3-3\cdot3+1 \\\\ &\cdots&　　　　　\cdots\cdots \\\\ k&=&n　　　　n^3-(n-1)^3 &=& 3\cdot n^3-3\cdot n+1 \end{eqnarray}

　これら $n$ 個の等式の辺々を加えると

$n^3=3(1^2+2^2+3^2+\cdots\cdots+n^2)-3(1+2+3+\cdots\cdots+n)+n$

　すなわち

$\displaystyle{n^3=3S-3\cdot\frac{1}{2}n(n+1)+n}$

$6S=2n^3+3n(n+1)-2n$

$6S=n(n+1)(2n+1)$

$\displaystyle{S=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}$

　したがって

$\displaystyle{1^2+2^2+3^2+\cdots\cdots+n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}$

　以上より

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}$

　

問題

　(1)　$\displaystyle{\sum_{k=1}^{10}2}$

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{10}2=10\cdot2=20}$

　(2)　$\displaystyle{\sum_{k=1}^{10}k}$

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{10}k=\frac{1}{2}\cdot10\cdot11=55}$

　(3)　$\displaystyle{\sum_{k=1}^{10}k^2}$

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{10}k^2=\frac{1}{6}\cdot10\cdot11\cdot21=385}$