階差数列

階差数列
階差数列から一般項を求める方法
問題
まとめ

$1 ， 3 ， 7 ， 13 ， 21 ， \dots \dots$

という数列について，隣り合う $2$ 項の差とると

$2 ， 4 ， 6 ， 8 ， \dots \dots$ 　という数列が得られる

この　 $2 ， 4 ， 6 ， 8 ， \dots \dots$ 　を　 $1 ， 3 ， 7 ， 13 ， 21 ， \dots \dots$ 　の　階差数列　とよぶ

数列 ${a_{n}}$ の隣り合う $2$ 項の差

$a_{n + 1} - a_{n} = b_{n}$ 　( $n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots \dots$ )

を項とする数列 ${b_{n}}$ を，数列 ${a_{n}}$ の　階差数列　という

階差数列から一般項を求める方法

$1 ， 3 ， 7 ， 13 ， 21 ， \dots \dots$

は等差数列でも等比数列でもないので，このままでは一般項を求めることができない

しかし，階差数列をとることで，一般項を求めることができる

数列 ${a_{n}}$ とその階差数列 ${b_{n}}$ について

$a_{2} = a_{1} +$ $b_{1}$

$a_{3} = a_{2} + b_{2} = (a_{1} + b_{1}) + b_{2} = a_{1} +$ $b_{1} + b_{2}$

$a_{4} = a_{3} + b_{3} = (a_{1} + b_{1} + b_{2}) + b_{3} = a_{1} +$ $b_{1} + b_{2} + b_{3}$

したがって， $n ≧ 2$ のとき

$a_{n} = a_{1} +$ $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots \dots + b_{n - 1}$

これをΣを用いて表すと

$a_{n} = a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} b_{k}$

等比数列と一般項

　数列 ${a_{n}}$ の階差数列を ${b_{n}}$ とすると

$n ≧ 2$ のとき　　　 $a_{n} = a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} b_{k}$

「 $n ≧ 2$ のとき」というのはとても重要

$n = 1$ のとき，すなわち $a_{1}$ は，階差数列を使って表すことができない

また， $n = 1$ を上の式に代入すると

$a_{1} = a_{1} + \sum_{k = 1}^{0} b_{k}$

となり，Σの式があり得ない式になってしまう

よって，上の式を用いる場合は「 $n ≧ 2$ のとき」と書く必要がある

${a_{n}}$ の初項と階差数列 ${b_{n}}$ の初項から第 $(n - 1)$ 項までの和で ${a_{n}}$ の一般項が求まるんだね！

第 $(n - 1)$ 項までというところがポイント！

間違えないようにしよう！

Σが苦手な人はこれ↓

和の記号Σ

Σは数列の和をシンプルに表すことができる記号！和の記号Σの基本を学ぼう！

問題

問題を解いてみよう！

　次の数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

　(1)　 $1 ， 3 ， 8 ， 16 ， 27 ， \dots \dots$

　(2)　 $2 ， 3 ， 5 ， 9 ， 17 ， \dots \dots$

　(1)　 $1 ， 3 ， 8 ， 16 ， 27 ， \dots \dots$

　　この数列の階差数列 ${b_{n}}$ は

$2 ， 5 ， 8 ， 11 ， \dots \dots$

　　数列 ${b_{n}}$ は初項 $2$ ，公差 $3$ の等差数列なので

$b_{n} = 2 + 3 (n - 1) = 3 n - 1$

　　 $n ≧ 2$ のとき

\begin{array}{rcl} a_{n} & = & a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} (3 k - 1) \\ = & 1 + 3 \cdot \frac{1}{2} (n - 1) {(n - 1) + 1} - (n - 1) \\ = & 1 + \frac{3}{2} n (n - 1) - (n - 1) \\ = & \frac{3}{2} n^{2} - \frac{5}{2} n + 2 \end{array}

　　 $n = 1$ を代入すると　　 $a_{1} = 1$

　　よって， $a_{n} = \frac{3}{2} n^{2} - \frac{5}{2} n + 2$ は $n = 1$ のときも成り立つ

　　したがって，　　 $a_{n} = \frac{3}{2} n^{2} - \frac{5}{2} n + 2$

　(2)　 $2 ， 3 ， 5 ， 9 ， 17 ， \dots \dots$

　　この数列の階差数列 ${b_{n}}$ は

$1 ， 2 ， 4 ， 8 ， \dots \dots$

　　数列 ${b_{n}}$ は初項 $1$ ，公比 $2$ の等比数列なので

$b_{n} = 2^{n - 1}$

　　 $n ≧ 2$ のとき

\begin{array}{rcl} a_{n} & = & a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} 2^{k - 1} \\ = & 2 + \frac{2^{n - 1} - 1}{2 - 1} \\ = & 2 + 2^{n - 1} - 1 \\ = & 2^{n - 1} + 1 \end{array}

　　 $n = 1$ を代入すると　　 $a_{1} = 2$

　　よって， $a_{n} = 2^{n - 1} + 1$ は $n = 1$ のときも成り立つ

　　したがって，　　 $a_{n} = 2^{n - 1} + 1$

Σの計算が苦手な人はこれ↓

まとめ

● 階差数列

　数列 ${a_{n}}$ の隣り合う $2$ 項の差

$a_{n + 1} - a_{n} = b_{n}$ 　( $n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots \dots$ )

　を項とする数列 ${b_{n}}$ を，数列 ${a_{n}}$ の　階差数列　という

● 階差数列から一般項を求める

　数列 ${a_{n}}$ の階差数列を ${b_{n}}$ とすると

$n ≧ 2$ のとき　　　 $a_{n} = a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} b_{k}$

階差数列は差がつくところ！

きちんと解けるようにしよう！