階差数列

階差数列

$1，3，7，13，21，\cdots\cdots$

という数列について，隣り合う $2$ 項の差とると

$2，4，6，8，\cdots\cdots$　という数列が得られる

この　 $2，4，6，8，\cdots\cdots$　を　 $1，3，7，13，21，\cdots\cdots$　の　階差数列　とよぶ

　

数列 $\{a_n\}$ の隣り合う $2$ 項の差

$a_{n+1}-a_n=b_n$　($n=1，2，3，\cdots\cdots$)

を項とする数列 $\{b_n\}$ を，数列 $\{a_n\}$ の　階差数列　という

階差数列から一般項を求める方法

$1，3，7，13，21，\cdots\cdots$

は等差数列でも等比数列でもないので，このままでは一般項を求めることができない

しかし，階差数列をとることで，一般項を求めることができる

　

数列 $\{a_n\}$ とその階差数列 $\{b_n\}$ について

$a_2=a_1+$$b_1$

$a_3=a_2+b_2=(a_1+b_1)+b_2=a_1+$$b_1+b_2$

$a_4=a_3+b_3=(a_1+b_1+b_2)+b_3=a_1+$$b_1+b_2+b_3$

したがって，$n≧2$ のとき

$a_n=a_1+$$b_1+b_2+b_3+\cdots\cdots+b_{n-1}$

これをΣを用いて表すと

$\displaystyle{a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k}$

　

「$n≧2$ のとき」というのはとても重要

$n=1$ のとき，すなわち $a_1$ は，階差数列を使って表すことができない

また，$n=1$ を上の式に代入すると

$\displaystyle{a_1=a_1+\sum_{k=1}^{0}b_k}$

となり，Σの式があり得ない式になってしまう

よって，上の式を用いる場合は 「$n≧2$ のとき」 と書く必要がある

　

Σが苦手な人はこれ↓

和の記号Σ

Σは数列の和をシンプルに表すことができる記号！和の記号Σの基本を学ぼう！

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2021.09.11

問題

　(1)　$1，3，8，16，27，\cdots\cdots$

　　この数列の階差数列 $\{b_n\}$ は

$2，5，8，11，\cdots\cdots$

　　数列 $\{b_n\}$ は初項 $2$，公差 $3$ の等差数列なので

$b_n=2+3(n-1)=3n-1$

　　$n≧2$ のとき

\begin{eqnarray} a_n &=& a_1+\sum_{k=1}^{n-1}(3k-1) \\\\ &=& 1+3\cdot\frac{1}{2}(n-1)\{(n-1)+1\}-(n-1) \\\\ &=& 1+\frac{3}{2}n(n-1)-(n-1) \\\\ &=& \frac{3}{2}n^2-\frac{5}{2}n+2 \\\\ \end{eqnarray}

　　$n=1$ を代入すると　　$a_1=1$

　　よって，$\displaystyle{a_n=\frac{3}{2}n^2-\frac{5}{2}n+2}$ は $n=1$ のときも成り立つ

　　したがって，　　 $\displaystyle{a_n=\frac{3}{2}n^2-\frac{5}{2}n+2}$

　

　(2)　$2，3，5，9，17，\cdots\cdots$

　　この数列の階差数列 $\{b_n\}$ は

$1，2，4，8，\cdots\cdots$

　　数列 $\{b_n\}$ は初項 $1$，公比 $2$ の等比数列なので

$b_n=2^{n-1}$

　　$n≧2$ のとき

\begin{eqnarray} a_n &=& a_1+\sum_{k=1}^{n-1}2^{k-1} \\\\ &=& 2+\frac{2^{n-1}-1}{2-1} \\\\ &=& 2+2^{n-1}-1 \\\\ &=& 2^{n-1}+1 \\\\ \end{eqnarray}

　　$n=1$ を代入すると　　$a_1=2$

　　よって，$a_n=2^{n-1}+1$ は $n=1$ のときも成り立つ

　　したがって，　　 $a_n=2^{n-1}+1$

　

Σの計算が苦手な人はこれ↓

まとめ

● 階差数列

　数列 $\{a_n\}$ の隣り合う $2$ 項の差

$a_{n+1}-a_n=b_n$　($n=1，2，3，\cdots\cdots$)

　を項とする数列 $\{b_n\}$ を，数列 $\{a_n\}$ の　階差数列　という

● 階差数列から一般項を求める

　数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると

$n≧2$ のとき　　　$\displaystyle{a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k}$