数列の和と一般項

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数列

数列の和と一般項

数列の和 $S_n$ の式から一般項を求める方法を学ぼう!

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると

$S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots\cdots+a_{n-1}+a_n$

ここで,数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $(n-1)$ 項までの和を $S_{n-1}$ ($n≧2$) は

$S_{n-1}=a_1+a_2+a_3+\cdots\cdots+a_{n-1}$

これらを引き算すると

\begin{eqnarray}  S_n &=& a_1&+&a_2&+&a_3&+&\cdots\cdots&+&a_{n-1}&+&a_n& \\ -\large{)} S_{n-1} &=& a_1&+&a_2&+&a_3&+&\cdots\cdots&+&a_{n-1}& \\ \hline S_n-S_{n-1} &=&  &&&&&&&&&&a_n \\\\ \end{eqnarray}

したがって,$n≧2$ のとき

$a_n=S_n-S_{n-1}$

 

数列の和と一般項

 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると

 $n=1$ のとき    $a_1=S_1$

 $n≧2$ のとき    $a_n=S_n-S_{n-1}$

忘れても式を作れるようにしよう!

問題

 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和が $S_n=2n^2-n$ であるとき,$\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

 

 $n=1$ のとき

$a_1=S_1=2\cdot1^2-1=1$

 $n≧2$ のとき

\begin{eqnarray} a_n &=& S_n-S_{n-1} \\ &=& 2n^2-n-\{2(n-1)^2-(n-1)\} \\ &=& 2n^2-n-(2n^2-4n+2-n+1) \\ &=& 4n-3 \end{eqnarray}

 $n=1$ を代入すると,$a_1=1$ となり $n=1$ のときも成り立つ

 したがって   $a_n=4n-3$

 

 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和が $S_n=n^2-n+1$ であるとき,$\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

 $n=1$ のとき

$a_1=S_1=1^2-1+1=1$

 $n≧2$ のとき

\begin{eqnarray} a_n &=& S_n-S_{n-1} \\ &=& n^2-n+1-\{(n-1)^2-(n-1)+1\} \\ &=& n^2-n+1-(n^2-2n+1-n+1+1) \\ &=& 2n-2 \end{eqnarray}

 $n=1$ を代入すると,$a_1=0$ となり,$a_1=1$ を満たさない

$n=1$ のとき  $a_1=1$

$n≧2$ のとき  $a_n=2n-2$

 

$a_n$ に $n=1$ を代入した値と,最初に求めた $a_1$ が異なる場合は,別々に答えを書こう!

まとめ

● 数列の和と一般項

 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると

 $n=1$ のとき    $a_1=S_1$

 $n≧2$ のとき    $a_n=S_n-S_{n-1}$

 

問題文に $S_n$ が与えられたら,この式で $a_n$ が求まるね!

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