2021共通テストⅡB第２問微分・積分・接線・曲線で囲まれた面積

2021年度共通テスト数学ⅡBの第２問「微分法・積分法」の問題の解説！

解いたことがない人は解いてみよう！

第２問「微分法・積分法」の問題
第２問「微分法・積分法」の分析と対策
第２問「微分法・積分法」の解答
1. (1)
2. (2)
2021年度共通テストの大問

第２問「微分法・積分法」の問題

第２問

[1]　座標平面上で，次の二つの $2$ 次関数のグラフについて考える。

　　　　$y=3x^2+2x+3$　　$\cdots\cdots$　(A)

　　　　$y=2x^2+2x+3$　　$\cdots\cdots$　(B)

　　(A)，(B) の $2$ 次関数のグラフには次の共通点がある。

　$y$ 軸との交点の $y$ 座標は $\boxed{\mathbf{　ア　}}$ である。

　$y$ 軸との交点における接線の方程式は $y=\boxed{\mathbf{　イ　}}x+\boxed{\mathbf{　ウ　}}$ である。

　　次の ⓪～⑤ の $2$ 次関数のグラフのうち，$y$ 軸との交点における接線の方程式が $y=\boxed{\mathbf{　イ　}}x+\boxed{\mathbf{　ウ　}}$ となるものは $\boxed{\mathbf{　エ　}}$ である。

　　$\boxed{\mathbf{　エ　}}$ の解答群

⓪　$y=3x^2-2x-3$ ①　$y=-3x+2x-3$

②　$y=2x^2+2x-3$ ③　$y=2x^2-2x-3$

④　$y=-x^2+2x+3$ ⑤　$y=-x^2-2x+3$

　　$a$，$b$，$c$ を $0$ でない実数とする。

　　曲線 $y=ax^2+bx+c$ 上の点 $(0，\boxed{\mathbf{　オ　}})$ における接線を $l$ とすると，その方程式は $y=\boxed{\mathbf{　カ　}}x+\boxed{\mathbf{　キ　}}$ である。

　　接線 $l$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標は $\displaystyle{\frac{\boxed{\mathbf{　クケ　}}}{\boxed{\mathbf{　コ　}}}}$ である。

　　$a$，$b$，$c$ が正の実数であるとき，曲線 $y=ax^2+bx+c$ と接線 $l$ および直線 $\displaystyle{x=\frac{\boxed{\mathbf{　クケ　}}}{\boxed{\mathbf{　コ　}}}}$ で囲まれた図形の面積を $S$ とすると

　　　　$\displaystyle{S=\frac{ac^{\boxed{\mathbf{サ}}}}{\boxed{\mathbf{　シ　}}b^{\boxed{\mathbf{ス}}}}}$　$\cdots\cdots$　(C)

　である。

　　$\boxed{\mathbf{　セ　}}$ については，最も適当なものを，次の ⓪～⑤ のうちから一つ選べ。

(2)　座標平面上で，次の三つの $3$ 次関数のグラフについて考える。

　　　　$y=4x^3+2x^2+3x+5$　　$\cdots\cdots$　(D)

　　　　$y=-2x^3+7x^2+3x+5$　　$\cdots\cdots$　(E)

　　　　$y=5x^3-x^2+3x+5$　　$\cdots\cdots$　(F)

　　(D)，(E)，(F) の $3$ 次関数のグラフには次の共通点がある。

　$y$ 軸との交点の $y$ 座標は $\boxed{\mathbf{　ソ　}}$ である。

　$y$ 軸との交点における接線の方程式は $y=\boxed{\mathbf{　タ　}}x+\boxed{\mathbf{　チ　}}$ である。

　　$a$，$b$，$c$，$d$ を $0$ でない実数とする。

　　曲線 $y=ax^3+bx^2+cx+d$ 上の点 $(0，\boxed{\mathbf{　ツ　}})$ における接線の方程式は $y=\boxed{\mathbf{　テ　}}x+\boxed{\mathbf{　ト　}}$ である。

　　次に，$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，$g(x)=\boxed{\mathbf{　テ　}}x+\boxed{\mathbf{　ト　}}$ とし，$f(x)-g(x)$ について考える。

　　$h(x)=f(x)-g(x)$ とおく。$a$，$b$，$c$，$d$ が正の実数であるとき，$y=h(x)$ のグラフの概形は $\boxed{\mathbf{　テ　}}$ である。

　　$y=f(x)$ のグラフと $y=g(x)$ のグラフの共有点の $x$ 座標は $\displaystyle{\frac{\boxed{\mathbf{ ニヌ }}}{\boxed{\mathbf{　ネ　}}}}$ と $\boxed{\mathbf{　ノ　}}$ である。また，$x$ が $\displaystyle{\frac{\boxed{\mathbf{ ニヌ }}}{\boxed{\mathbf{　ネ　}}}}$ と $\boxed{\mathbf{　ノ　}}$ の間を動くとき，$|f(x)-g(x)|$ の値が最大となるのは，$\displaystyle{x=\frac{\boxed{\mathbf{ ハヒフ }}}{\boxed{\mathbf{ ヘホ }}}}$ のときである。

　　$\boxed{\mathbf{　ナ　}}$ については，最も適当なものを，次の ⓪～⑤ のうちから一つ選べ。

第２問「微分法・積分法」の分析と対策

この問題を分析するとこんな感じかな！

問題で扱われている分野と力

間違えた問題を分析すれば，自分がどこでつまずいているか分かるよ！

$y$ 軸との交点の座標　$\boxed{\mathbf{ア}}$，$\boxed{\mathbf{オ}}$，$\boxed{\mathbf{ク}}～\boxed{\mathbf{コ}}$，$\boxed{\mathbf{ソ}}$，$\boxed{\mathbf{ツ}}$
接点が与えられている場合の接線の方程式　$\boxed{\mathbf{イ}}～\boxed{\mathbf{エ}}$，$\boxed{\mathbf{カ}}，\boxed{\mathbf{キ}}$，$\boxed{\mathbf{タ}}，\boxed{\mathbf{チ}}$，$\boxed{\mathbf{テ}}，\boxed{\mathbf{ト}}$
２曲線の間の面積　$\boxed{\mathbf{サ}}～\boxed{\mathbf{ス}}$
比例関係　$\boxed{\mathbf{セ}}$
３次関数のグラフ　$\boxed{\mathbf{ナ}}$
２曲線の共有点の座標　$\boxed{\mathbf{ニ}}～\boxed{\mathbf{ネ}}$
絶対値と３次関数の最大値　$\boxed{\mathbf{ハ}}～\boxed{\mathbf{ホ}}$

問題の分析

$y$ 軸との交点と接線の方程式が何度も問われる

接線の方程式を求めることが苦手な受験生は苦戦した問題

接線の方程式は出題される可能性が高いので，求められるようにしておこう

ちなみに，接線の方程式の問題には

接点が与えられている場合　←今回はこっち
接点が与えられていない場合

の２パターンを解けるようにしておく必要がある

$y=ax^3+bx^2+cx+d$ など，一般化した関数を扱う問題なので文字が多い

$y=2x^3+3x^2+x-1$ のような数で表される関数と同様に考えればよいが，

文字になると難しいと感じる受験生は苦戦した

対策

微分と積分は出題されるテーマが限られる

接線の方程式
３次関数のグラフと極値
曲線で囲まれる面積

これらのテーマの問題をしっかり練習しよう

第２問「微分法・積分法」の解答

(1)

第２問

[1]　座標平面上で，次の二つの $2$ 次関数のグラフについて考える。

　　　　$y=3x^2+2x+3$　　$\cdots\cdots$　(A)

　　　　$y=2x^2+2x+3$　　$\cdots\cdots$　(B)

　　(A)，(B) の $2$ 次関数のグラフには次の共通点がある。

　$y$ 軸との交点の $y$ 座標は $\boxed{\mathbf{　ア　}}$ である。

　$y$ 軸との交点における接線の方程式は $y=\boxed{\mathbf{　イ　}}x+\boxed{\mathbf{　ウ　}}$ である。

　　$\boxed{\mathbf{　エ　}}$ の解答群

⓪　$y=3x^2-2x-3$ ①　$y=-3x+2x-3$

②　$y=2x^2+2x-3$ ③　$y=2x^2-2x-3$

④　$y=-x^2+2x+3$ ⑤　$y=-x^2-2x+3$

　　$a$，$b$，$c$ を $0$ でない実数とする。

　　曲線 $y=ax^2+bx+c$ 上の点 $(0，\boxed{\mathbf{　オ　}})$ における接線を $l$ とすると，その方程式は $y=\boxed{\mathbf{　カ　}}x+\boxed{\mathbf{　キ　}}$ である。

　　接線 $l$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標は $\displaystyle{\frac{\boxed{\mathbf{　クケ　}}}{\boxed{\mathbf{　コ　}}}}$ である。

　　　　$\displaystyle{S=\frac{ac^{\boxed{\mathbf{サ}}}}{\boxed{\mathbf{　シ　}}b^{\boxed{\mathbf{ス}}}}}$　$\cdots\cdots$　(C)

　である。

　　$\boxed{\mathbf{　セ　}}$ については，最も適当なものを，次の ⓪～⑤ のうちから一つ選べ。

$y=3x^2+2x+3$　　$\cdots\cdots$　(A)

$y=2x^2+2x+3$　　$\cdots\cdots$　(B)

　(A) も (B) も $x=0$ を代入したら，$y=3$ となる

　よって，$y$ 軸との交点の $y$ 座標は $\boxed{\mathbf{3}}$ である

(A) について微分すると　　$y’=6x+2$

(B) について微分すると　　$y’=4x+2$

　どちらも $x=0$ における微分係数は $2$ となる

　すなわち，$x=0$ における接線の傾きが $2$

　接線は傾き $2$，$(0，3)$ を通るので，$y=\boxed{\mathbf{2}}x+\boxed{\mathbf{3}}$

ポイント

　$x=a$ における接線の傾きは，$x=a$ における微分係数と等しい
　$x=a$ における微分係数とは，微分して $x=a$ を代入した値のこと

接線を求めるだけなら，図を描かずに式だけで求められるようにしよう！

接線の方程式についてはこれ↓

接線の方程式（接点が与えられている）

傾きが微分係数，通る点が接点で直線の方程式を用いれば，接線の方程式が求まる！

　$y$ 軸との交点における接線の方程式は $y=\boxed{\mathbf{2}}x+\boxed{\mathbf{3}}$ のとき，これは $(0，3)$ を通る

　よって，選択肢の中で $(0，3)$ を通る $2$ 次関数は④または⑤

　$x=0$ における微分係数（接線の傾き）が $2$ になる方が答えになる

　　④は $y’=-2x+2$ より，$x=0$ における微分係数が $2$

　　⑤は $y’=-2x-2$ より，$x=0$ における微分係数が $-2$

　したがって，$\boxed{\mathbf{④}}$

　曲線 $y=ax^2+bx+c$ 上の点 $(0，\boxed{\mathbf{c}})$ における接線 $l$ について

　$y’=2ax+b$ より，$x=0$ における微分係数（接線の傾き）は $b$

　よって，接線 $l$ の方程式は $y=\boxed{\mathbf{b}}x+\boxed{\mathbf{c}}$ である

　接線 $l$ と $x$ 軸の交点は $y=0$ を代入して

$bx+c=0$

$\displaystyle{x=\frac{\boxed{\mathbf{-c}}}{\boxed{\mathbf{b}}}}$

　$a$，$b$，$c$ が正の実数であるとき，

　曲線 $y=ax^2+bx+c$ と接線 $l$ および直線 $\displaystyle{x=\frac{\boxed{\mathbf{-c}}}{\boxed{\mathbf{b}}}}$ で囲まれた図形の面積 $S$ は

\begin{eqnarray} S &=& \int_{-\frac{c}{b}}^0 \{ax^2+bx+c-(bx+c)\} dx \\\\ &=& \int_{-\frac{c}{b}}^0 ax^2 dx \\\\ &=& \left[\frac{1}{3}ax^3\right]_{-\frac{c}{b}}^0 \\\\ &=& -\frac{1}{3}a\left(-\frac{c}{b}\right)^3 \\\\ &=& \frac{ac^{\boxed{\mathbf{3}}}}{\boxed{\mathbf{3}}b^{\boxed{\mathbf{3}}}} \end{eqnarray}

ポイント

　$f(x)$ が $g(x)$ より上側にあるとき　　$\displaystyle{S=\int_a^b \left\{f(x)-g(x)\right\} dx}$

２曲線の間の面積の求め方はこれ↓

　$a=1$ のとき，　$\displaystyle{S=\frac{1}{3}\left(\frac{c}{b}\right)^3}$

　$S$ が定数となるとき，$\displaystyle{\frac{c}{b}}$ も定数となる

　$b>0$，$c>0$ なので，$k>0$ を満たす定数 $k$ を用いると

$\displaystyle{\frac{c}{b}=k}$

　すなわち，　$c=kb$ 　と表される

　$b$ と $c$ は比例の関係にあるので，$\boxed{\mathbf{⓪}}$

(2)

(2)　座標平面上で，次の三つの $3$ 次関数のグラフについて考える。

　　　　$y=4x^3+2x^2+3x+5$　　$\cdots\cdots$　(D)

　　　　$y=-2x^3+7x^2+3x+5$　　$\cdots\cdots$　(E)

　　　　$y=5x^3-x^2+3x+5$　　$\cdots\cdots$　(F)

　　(D)，(E)，(F) の $3$ 次関数のグラフには次の共通点がある。

　$y$ 軸との交点の $y$ 座標は $\boxed{\mathbf{　ソ　}}$ である。

　$y$ 軸との交点における接線の方程式は $y=\boxed{\mathbf{　タ　}}x+\boxed{\mathbf{　チ　}}$ である。

　　$a$，$b$，$c$，$d$ を $0$ でない実数とする。

　　曲線 $y=ax^3+bx^2+cx+d$ 上の点 $(0，\boxed{\mathbf{　ツ　}})$ における接線の方程式は $y=\boxed{\mathbf{　テ　}}x+\boxed{\mathbf{　ト　}}$ である。

　　次に，$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，$g(x)=\boxed{\mathbf{　テ　}}x+\boxed{\mathbf{　ト　}}$ とし，$f(x)-g(x)$ について考える。

　　$h(x)=f(x)-g(x)$ とおく。$a$，$b$，$c$，$d$ が正の実数であるとき，$y=h(x)$ のグラフの概形は $\boxed{\mathbf{　テ　}}$ である。

　　$\boxed{\mathbf{　ナ　}}$ については，最も適当なものを，次の ⓪～⑤ のうちから一つ選べ。

　　　　$y=4x^3+2x^2+3x+5$　　$\cdots\cdots$　(D)

　　　　$y=-2x^3+7x^2+3x+5$　　$\cdots\cdots$　(E)

　　　　$y=5x^3-x^2+3x+5$　　$\cdots\cdots$　(F)

　(D) も (E) も (F) も $x=0$ を代入したら，$y=5$ となる

　よって，$y$ 軸との交点の $y$ 座標は $\boxed{\mathbf{5}}$ である

(D) について微分すると　　$y’=12x^2+4x+3$

(E) について微分すると　　$y’=-6x^2+14x+3$

(F) について微分すると　　$y’=15x^2-2x+3$

　どちらも $x=0$ における微分係数は $3$ となる

　すなわち，$x=0$ における接線の傾きが $3$

　接線は傾き $3$，$(0，5)$ を通るので，$y=\boxed{\mathbf{3}}x+\boxed{\mathbf{5}}$

　曲線 $y=ax^3+bx^2+cx+d$ 上の点 $(0，\boxed{\mathbf{d}})$ における接線 $l$ について

　$y’=3ax^2+2bx+c$ より，$x=0$ における微分係数（接線の傾き）は $c$

　よって，接線 $l$ の方程式は $y=\boxed{\mathbf{c}}x+\boxed{\mathbf{d}}$ である

　$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，$g(x)=cx+d$ について，

\begin{eqnarray} h(x) &=& f(x)-g(x) = ax^3+bx^2 \end{eqnarray}

　導関数を求めると

$\displaystyle{h'(x)=3ax^2+2bx=3ax\left(x+\frac{2b}{3a}\right)}$

　$h'(x)=0$ のとき

$\displaystyle{x=0，-\frac{2b}{3a}}$

　$a>0$，$b>0$ より，$\displaystyle{-\frac{2b}{3a}<0}$

　$a>0$ より $\displaystyle{h'(x)=3ax\left(x+\frac{2b}{3a}\right)}$ のグラフは下に凸で以下のようになる

　増減表をかくと

\begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & -\frac{2b}{3a} & \cdots & 0 & \cdots \\ \hline h’(x) & + & 0 & – & 0 & + \\ \hline h(x) & \nearrow & & \searrow & 0 & \nearrow \end{array}

　増減表をもとに $h(x)$ のグラフをかくと