式の展開は数学の基本中の基本！
３つ以上の式の展開は，計算の順序や組み合わせを考えることが重要です！
やみくもに計算すると，項が多くなり計算ミスを起こしやすくなります！
ここでは，順序や組み合わせを工夫した展開の計算の基本をわかりやすく学ぶことができます！
この投稿を見て，順序や組み合わせを工夫した展開の計算をマスターしましょう！
順序や組み合わせを工夫して展開する場面
３つ以上の式の展開は，順序や組み合わせを工夫して展開する必要がある！
その必要性を見てみよう！
前から順番に展開する
\begin{eqnarray} && (a^2+b^2)(a+b)(a-b) \\\\ &=& (a^3+a^2b+ab^2+b^3)(a-b) \\\\ &=& a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3-a^3b-a^2b^2-ab^3-b^4 \\\\ &=& a^4-b^4 \end{eqnarray}
項がたくさん出てきた！
展開の順序を工夫する
\begin{eqnarray} && (a^2+b^2)(a+b)(a-b) \\\\ &=& (a^2+b^2)(a^2-b^2) \\\\ &=& a^4-b^4 \end{eqnarray}$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ の形を見つけて，先に計算することで楽に展開できるね！
順序や組み合わせを工夫して展開する２つの問題パターン
大きく分けて２つのパターンがあることをおさえておこう！
② 共通な部分ができるように考えるパターン
展開の公式はこれ↓
共通な部分を置き換えて計算する方法はこれ↓
展開の公式が使えるように考えるパターン
(1) $(2a+b)^2(2a-b)^2$
(2) $(x+1)(x-1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)$
自力で解いてみたら答えを見てみよう！
(1) $(2a+b)^2(2a-b)^2$
$=\{(2a+b)(2a-b)\}^2$
$=(4a^2-b^2)^2$
$=16a^4-8a^2b^2+b^4$
(2) $(x+1)(x-1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)$
$=(x+1)(x^2-x+1)(x-1)(x^2+x+1)$
$=(x^3+1)(x^3-1)$
$=x^6-1$
共通な部分ができるように考えるパターン
$a$～$d$ を 和が等しくなるような２組 または 積が等しくなるような２組
に分けることで、共通な部分ができて計算しやすくなる
(1) $(x-2)(x-3)(x+4)(x+5)$
(2) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)$
(1) $(x-2)(x-3)(x+4)(x+5)$
$=\{(x-2)(x+4)\}\{(x-3)(x+5)\}$ ←$-2$ と $4$，$-3$ と $5$ は和が等しい
$=(x^2+2x-8)(x^2+2x-15)$
$=\{(x^2+2x)-8\}\{(x^2+2x)-15\}$ ←$x^2+2x$ が共通な部分
$=(x^2+2x)^2-23(x^2+2x)+120$
$=x^4+4x^3+4x^2-23x^2-46x+120$
$=x^4+4x^3-19x^2-46x+120$
(2) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)$
$=\{(x+1)(x+6)\}\{(x+2)(x+3)\}$ ←$1$ と $6$，$2$ と $3$ は積が等しい
$=(x^2+7x+6)(x^2+5x+6)$
$=\{(x^2+6)+7x\}\{(x^2+6)+5x\}$ ←$x^2+6$ が共通な部分
$=(x^2+6)^2+12x(x^2+6)+35x^2$
$=x^4+12x^2+36+12x^3+72x+35x^2$
$=x^4+12x^3+47x^2+72x+36$
🔰基本…まずはこの記事から！
🔵標準…基本問題や公式の理解度が重要！
🔴応用…場合分けなど思考力が要求される！
コメント