２次関数のグラフの平行移動と対称移動の方法を知っていますか？
苦戦してしまう高校生が多い問題の１つです！
平行移動と対称移動のポイントは，ずばり『頂点』と『グラフの形』！
平方完成さえできれば，簡単に解けるようになります！
それに加えて，『平方完成する必要がない解法』もあります！
２次関数のみならず，３次関数などその他の関数にも応用できます！
他の受験生と差をつけたい高校生にオススメの投稿です！
この投稿であなたも『２次関数のグラフの平行移動・対称移動』をマスターできます！
２次関数の平方完成と頂点
２次関数 $y=ax^2+bx+c$ を $y=a(x-p)^2+q$ に変形することを『平方完成』という。
平方完成して，$y=a(x-p)^2+q$ の形に変形することで，軸が直線 $x=p$，頂点が $(p，q)$ であることがわかる。
平方完成の復習はこれ↓
平行移動
頂点を利用した平行移動の方法
２．頂点の移動を考える
３．$x^2$ の係数（$a$ の値）は変わらない
このポイントをおさえれば平行移動の問題は解ける！
(1) ①のグラフを $x$ 軸方向に $2$，$y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動して得られるグラフ
(2) $x$ 軸方向に $2$，$y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動して①のグラフと重なるようなグラフ
を求めよ。
①について $y=2(x-1)^2+2$
よって，①のグラフの頂点は $(1，2)$
(1)
①のグラフの頂点 $(1，2)$ を
$x$ 軸方向に $2$，$y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動すると $(3，1)$
求めるグラフは，①のグラフを平行移動したものであるから
$x^2$ の係数は $2$ である
よって，求める方程式は $y=2(x-3)^2+1$
(2)
①のグラフの頂点 $(1，2)$ を
$x$ 軸方向に $-2$，$y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動したものであるから
頂点は $(-1，3)$，$x^2$ の係数は $2$ である
よって，求める方程式は $y=2(x+1)^2+3$
式変形のみで平行移動する方法
平方完成して頂点を求めることなく，式変形だけで平行移動する方法を学ぼう！
平方完成が大変な２次関数でも，式変形だけで簡単にできるのは便利だね！
$y-q=f(x-p)$ すなわち $y=f(x-p)+q$
なんか難しい式だね…
もう少し簡単に表現してみるとこんな感じ！
これを使って平行移動の問題を解いてみよう！
(1) ①のグラフを $x$ 軸方向に $2$，$y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動して得られるグラフ
(2) $x$ 軸方向に $2$，$y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動して①のグラフと重なるようなグラフ
を求めよ。
(1) $y-(-1)=2(x-2)^2-4(x-2)+4$ ← $x$ を $x-2$，$y$ を $y-(-1)$
これを計算して $y=2x^2-8x+19$
(2) 求めるグラフは①のグラフを
$x$ 軸方向に $-2$，$y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動したものであるから
$y-1=2(x+2)^2-4(x+2)+4$ ← $x$ を $x+2$，$y$ を $y-1$
これを計算して $y=2x^2+4x+5$
２次関数以外の関数にも使えるので超便利！
対称移動
頂点を利用した対称移動の方法
$x$ 軸，$y$ 軸，原点に関する対称移動は，下図のように考えられる。
２．$x^2$ の係数（$a$ の値）について
$y$ 軸に関する対称移動は符号が変わらない
$x$ 軸，原点に関する対称移動は符号が変わる
$y$ 軸に関する対称移動
１．頂点の $x$ 座標の符号が変わる
２．下に凸なら下に凸のまま，上に凸なら上に凸のまま
$x$ 軸に関する対称移動
１．頂点の $y$ 座標の符号が変わる
２．下に凸なら上に凸に，上に凸なら下に凸になる
原点に関する対称移動
１．頂点の $x$ 座標，$y$ 座標ともに符号が変わる
２．下に凸なら上に凸に，上に凸なら下に凸になる
(1) $x$ 軸に関する対称移動したグラフ
(2) $y$ 軸に関して対称移動したグラフ
(3) 原点に関して対称移動したグラフ
を求めよ。
①について $y=2(x-1)^2+2$
よって，①のグラフの頂点は $(1，2)$
(1) ①のグラフの頂点を $x$ 軸に関して対称移動すると $(1，-2)$
グラフの形は下に凸から上に凸に変わるので $y=-2(x-1)^2-2$
(2) ①のグラフの頂点を $x$ 軸に関して対称移動すると $(-1，2)$
グラフの形は変わらないので $y=2(x+1)^2+2$
(3) ①のグラフの頂点を原点に関して対称移動すると $(-1，-2)$
グラフの形は下に凸から上に凸に変わるので $y=-2(x+1)^2-2$
式変形のみで対称移動する方法
平方完成して頂点を求めることなく，式変形だけで対称移動する方法を学ぼう！
平方完成が大変な２次関数でも，式変形だけで簡単にできるのは便利だね！
曲線 $y=f(x)$ を $y$ 軸に関して対称移動した方程式は $y=f(-x)$
曲線 $y=f(x)$ を原点に関して対称移動した方程式は $y=-f(-x)$
難しい式だね…
もう少し簡単に表現するとこんな感じ！
$y$ 軸に関して対称移動したいときは $x$ を $-x$ にする
原点に関して対称移動したいときは $x$ を $-x$，$y$ を $-y$ にする
$x$ 軸に関する対称移動の場合は，$y$ 座標の符号が変わるから $y$ を $-y$ にすると考えると覚えやすい！
同様に，$y$ 軸に関する対称移動は，$x$ 座標の符号が変わるから $x$ を $-x$ にすると覚えよう！
原点に関する対称移動は，$x$ 座標も $y$ 座標も変わるから，$x$ を $-x$，$y$ を $-y$ にすると覚えればいいね！
(1) $x$ 軸に関する対称移動したグラフ
(2) $y$ 軸に関して対称移動したグラフ
(3) 原点に関して対称移動したグラフ
を求めよ。
(1) $-y=2x^2-4x+4$ ← $y$ を $-y$ にする
これを計算すると $y=-2x^2+4x-4$
(2) $y=2(-x)^2-4\cdot(-x)+4$ ← $x$ を $-x$ にする
これを計算すると $y=2x^2+4x+4$
(2) $-y=2(-x)^2-4\cdot(-x)+4$ ← $x$ を $-x$，$y$ を $-y$ にする
これを計算すると $y=-2x^2-4x-4$
２次関数以外の関数にも使えるので超便利！
まとめ
●頂点を利用した平行移動のポイント
１．問題文から移動前と移動後を整理する
２．頂点の移動を考える
３．$x^2$ の係数（$a$ の値）は変わらない
●式変形のみで平行移動する方法
$x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したいときは，$x$ に $x-p$，$y$ に $y-q$ を代入する
●頂点を利用した対称移動のポイント
１．頂点を対称移動する
２．$x^2$ の係数（$a$ の値）について
$y$ 軸に関する対称移動は符号が変わらない
$x$ 軸，原点に関する対称移動は符号が変わる
●式変形のみで対称移動する方法
$x$ 軸に関して対称移動したいときは $y$ を $-y$ にする
$y$ 軸に関して対称移動したいときは $x$ を $-x$ にする
原点に関して対称移動したいときは $x$ を $-x$，$y$ を $-y$ にする
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