ド・モルガンの法則は理解できていますか？
『ド・モルガンの法則がなぜその式になるのか』
集合を使ってわかりやすく説明します！
式を覚えているだけはNG！
どんな場面で使えばいいのか？
と悩んでいる人もこの投稿で解決します！
集合の基本
集合の基本である
共通部分（かつ）・和集合（または）・補集合
を復習しよう！
$\overline{A}∩\overline{B}$
$\overline{A}∩\overline{B}$ を書き換えてみよう！
$\overline{A}$（ $A$ の外）
$\overline{B}$（ $B$ の外）
$\overline{A}∩\overline{B}$（ $A$ の外 かつ $B$ の外 ）
この集合は $A∪B$ の外になります
すなわち，$\overline{A∪B}$
よって，
$\overline{A}∩\overline{B}=\overline{A∪B}$
$\overline{A}∪\overline{B}$
$\overline{A}∪\overline{B}$ を書き換えてみよう！
$\overline{A}$（ $A$ の外）
$\overline{B}$（ $B$ の外）
$\overline{A}∪\overline{B}$（ $A$ の外 または $B$ の外 ）
この集合は $A∩B$ の外になります
すなわち，$\overline{A∩B}$
よって，
$\overline{A}∪\overline{B}=\overline{A∩B}$
ド・モルガンの法則
$\overline{A}∩\overline{B}$（ $A$ の外 かつ $B$ の外 ）
を考えるよりも
$\overline{A∪B}$（ $A∪B$ の外 ）
を考える方が簡単
同様に
$\overline{A}∪\overline{B}$（ $A$ の外 または $B$ の外 ）
を考えるよりも
$\overline{A∩B}$（ $A∩B$ の外 ）
を考える方が簡単
$\overline{A}∩\overline{B}$ や $\overline{A}∪\overline{B}$ を考えるときは
ド・モルガンの法則で $\overline{A∪B}$ や $\overline{A∩B}$ に書き換えて考えましょう
まとめ
ド・モルガンの法則
● $\overline{A}∩\overline{B}=\overline{A∪B}$
● $\overline{A}∪\overline{B}=\overline{A∩B}$
問題
$10$ 以下の自然数全体の集合を全体集合 $U$，$6$ の正の約数全体の集合を $A$，$10$ 以下の素数全体の集合を $B$ とする。次の集合を求めよ。
(1) $\overline{A}∩\overline{B}$
(2) $\overline{A}∪\overline{B}$
解答
$A=\{1，2，3，6\}$
$B=\{2，3，5，7\}$
(1) $\overline{A}∩\overline{B}$
ド・モルガンの法則より
$\overline{A}∩\overline{B}=\overline{A∪B}$
$\overline{A∪B}=\{4，8，9，10\}$ なので
$\overline{A}∩\overline{B}=\{4，8，9，10\}$
(2) $\overline{A}∪\overline{B}$
ド・モルガンの法則より
$\overline{A}∪\overline{B}=\overline{A∩B}$
$\overline{A∩B}=\{1，4，5，6，7，8，9，10\}$ なので
$\overline{A}∪\overline{B}=\{1，4，5，6，7，8，9，10\}$
ド・モルガンの法則は他にも使う場面があるので、きちんと覚えておこう！
🔰基本…まずはこの記事から！
🔵標準…基本問題や公式の理解度が重要！
🔴応用…場合分けなど思考力が要求される！
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