ベクトルの成分表示

ベクトルの成分表示

ベクトルの向きや大きさを正確に表す方法として「ベクトルの成分表示」がある

例えば，以下のベクトル $\vec{a}$ を成分表示してみよう

$x$ 軸，$y$ 軸をとる

原点を始点にとる

終点の座標は $(1，2)$

このとき，$\vec{a}=(1，2)$ と表す

まとめると

$A(a_1，a_2)$ のとき， $\overrightarrow{OA}=(a_1，a_2)$

$a_1$ を $x$ 成分，$a_2$ を $y$ 成分という

このように考えれば，平面上のどのようなベクトルも成分表示できる

成分表示におけるベクトルの大きさ

$\vec{a}=(1，2)$ の大きさ $|\vec{a}|$ を考える

$(1，2)$ を点 $A$ とすると

$|\vec{a}|$ は２点間の距離 $OA$ と等しいので

\begin{eqnarray} |\vec{a}| &=& OA \\ &=& \sqrt{1^2+2^2} \\ &=& \sqrt{5} \end{eqnarray}

以上より，成分表示におけるベクトルの大きさは以下のようになる

成分表示の計算

$\vec{a}+\vec{b}$

$\vec{a}=(3，1)$，$\vec{b}=(2，1)$ のとき，$\vec{a}+\vec{b}$ を図で考える

$\vec{b}$ を平行移動して，$\vec{a}+\vec{b}$ を求めると（ベクトルの加法）

$\vec{a}+\vec{b}=(4，3)$

$x$ 成分の $4$ は $\vec{a}$ の $x$ 成分の $3$ と $\vec{b}$ の $x$ 成分の $1$ を足したもの

$y$ 成分の $3$ は $\vec{a}$ の $y$ 成分の $1$ と $\vec{b}$ の $y$ 成分の $2$ を足したもの

以上より，$\vec{a}+\vec{b}$ は以下のような計算ができる

\begin{eqnarray} \vec{a}+\vec{b} &=& (3，1)+(1，2) \\ &=& (3+1，1+2)\\ &=& (4，3) \end{eqnarray}

$\vec{a}-\vec{b}$

$\vec{a}=(3，1)$，$\vec{b}=(2，1)$ のとき，$\vec{a}-\vec{b}$ を図で考える

$\vec{a}-\vec{b}$ を $\vec{a}+(-\vec{b})$ と考えると（ベクトルの減法）

$\vec{a}-\vec{b}=(2，-1)$

$x$ 成分の $2$ は $\vec{a}$ の $x$ 成分の $3$ と $\vec{b}$ の $x$ 成分の $1$ を引いたもの

$y$ 成分の $-1$ は $\vec{a}$ の $y$ 成分の $1$ と $\vec{b}$ の $y$ 成分の $2$ を引いたもの

以上より，$\vec{a}-\vec{b}$ は以下のような計算ができる

\begin{eqnarray} \vec{a}-\vec{b} &=& (3，1)-(1，2) \\ &=& (3-1，1-2)\\ &=& (2，-1) \end{eqnarray}

$k\vec{a}$

$\vec{a}=(2，1)$ のとき，$k\vec{a}$ （$k$ は実数）を図で考える

$2\vec{a}$ を図示すると

$2\vec{a}=(4，2)$

$\vec{a}$ の $x$ 成分と $y$ 成分をそれぞれ $2$ 倍したもの

以下のような計算ができる

\begin{eqnarray} 2\vec{a} &=& 2(2，1) \\ &=& (2\cdot2，2\cdot1)\\ &=& (4，2) \end{eqnarray}

$-2\vec{a}$ を図示すると

$-2\vec{a}=(-4，-2)$

$\vec{a}$ の $x$ 成分と $y$ 成分をそれぞれ $-2$ 倍したもの

以下のような計算ができる

\begin{eqnarray} -2\vec{a} &=& -2(2，1) \\ &=& (-2\cdot2，-2\cdot1)\\ &=& (-4，-2) \end{eqnarray}

以上をまとめると

原点以外が始点のベクトル

座標平面上にある２点 $A(3，1)$，$B(1，2)$ がある

$\overrightarrow{AB}$ を成分表示しよう

$\overrightarrow{OA}=(3，1)$，$\overrightarrow{OB}=(1，2)$

$\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OA}$　より（ベクトルの減法）

\begin{eqnarray} \overrightarrow{AB} &=& \overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OA} \\ &=& (1，2)-(3，1)\\ &=& (-2，1) \end{eqnarray}

　

まとめ

● ベクトルの成分表示

　$A(a_1，a_2)$ について，$\overrightarrow{OA}=(a_1，a_2)$

● 成分表示におけるベクトルの大きさ

　$\vec{a}=(a_1，a_2)$ のとき　　$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$

● 成分表示の計算

　１　$(a_1，a_2)+(b_1，b_2)=(a_1+b_1，a_2+b_2)$

　２　$(a_1，a_2)-(b_1，b_2)=(a_1-b_1，a_2-b_2)$

　３　$k(a_1，a_2)=(ka_1，ka_2)$