ベクトルの減法

ベクトルの減法

ベクトルの加法

$\overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{OB}$

この式を変形すると

$\overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OA}= \overrightarrow{AB}$

という式が作れる

$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$， $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ として， 図にしてみると

逆に

$\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$

とすると

$\overrightarrow{BA}=-(\vec{b}-\vec{a})= \vec{a}-\vec{b} $

と表せるので

　

　

$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$　は　$\overrightarrow{AB}$　と　$\overrightarrow{BA}$　のどっち？

加法に変形して式変形すると

\begin{eqnarray} \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB} &=& \overrightarrow{OA}+(- \overrightarrow{OB}) \\ &=& \overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{BO} \\ &=& \overrightarrow{BO}+ \overrightarrow{OA} \\ &=& \overrightarrow{BA} \\ \end{eqnarray}

　

$\vec{a}-\vec{b}$ の図示

　

$\vec{a}-\vec{b}$ を式変形する

$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$

つまり，$\vec{a}$ と $-\vec{b}$ の和が $\vec{a}-\vec{b}$

ベクトルの差の分解

ベクトルの「差の分解」とは

例えば

$\overrightarrow{AB}$　を　$\overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OA}$　に変形すること

$\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OA}$　になる理由は加法で説明できる

\begin{eqnarray} \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} &=& \overrightarrow{OB}-(- \overrightarrow{AO}) \\ &=& \overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{AO} \\ &=& \overrightarrow{AO}+ \overrightarrow{OB} \\ &=& \overrightarrow{AB} \\ \end{eqnarray}

同様に， $\overrightarrow{OC}- \overrightarrow{OD}$ を計算してみると

\begin{eqnarray} \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD} &=& \overrightarrow{OC}-(- \overrightarrow{DO}) \\ &=& \overrightarrow{OC}+ \overrightarrow{DO} \\ &=& \overrightarrow{DO}+ \overrightarrow{OC} \\ &=& \overrightarrow{DC} \\ \end{eqnarray}

以上より，

$\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{OC}- \overrightarrow{OD}$

共通点を見ていると

$\overrightarrow{△□}=\overrightarrow{O□}- \overrightarrow{O△}$

となることが分かる

つまり

$\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{OC}- \overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{OE}- \overrightarrow{OF}$

　

 

右辺の始点は $O$ である必要があるか考えてみる

始点を $P$ にして　$\overrightarrow{PB}- \overrightarrow{PA}$ を考えてみると

\begin{eqnarray} \overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA} &=& \overrightarrow{PB}-(- \overrightarrow{AP}) \\ &=& \overrightarrow{PB}+ \overrightarrow{AP} \\ &=& \overrightarrow{AP}+ \overrightarrow{PB} \\ &=& \overrightarrow{AB} \\ \end{eqnarray}

$ \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{PB}- \overrightarrow{PA}$　であることが分かる

以上より

$\overrightarrow{△□}=\overrightarrow{●□}- \overrightarrow{●△}$

と表せる

　

$\overrightarrow{AB}$ に差の分解を用いると

$ \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OA}$

$ \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{PB}- \overrightarrow{PA}$

$ \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CB}- \overrightarrow{CA}$

$ \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{GB}- \overrightarrow{GA}$

など

始点を自由に定めることができる

　

まとめ

● ベクトルの減法

$\overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OA}= \overrightarrow{AB}$

● $\vec{a}-\vec{b}$ の図示

　 $\vec{a}+(-\vec{b})$　として考えることがポイント

● ベクトルの差の分解

　$\overrightarrow{△□}=\overrightarrow{●□}- \overrightarrow{●△}$