![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
メネラウスの定理が苦手な人は多いよね!
メネラウスの定理の使い方を学ぼう!
メネラウスの定理
$\triangle ABC$ の辺 $BC$,$CA$,$AB$ またはその延長が,三角形の頂点を通らない直線 $l$ と,それぞれ $P$,$Q$,$R$ で交わるとき
$\displaystyle{\frac{BP}{PC}・\frac{CQ}{QA}・\frac{AR}{RB}=1}$![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/06/ca419777cc594b4ff3890d544e0c5919.png)
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
メネラウスの定理もチェバの定理と同じように一筆書きで一周!
チェバの定理の復習はこれ↓
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/06/20210603-160x90.jpg)
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/94009dd59c2e9f67675e91ca979a1f6b.jpg)
チェバの定理の一筆書きは分かりやすかったけど,メネラウスの定理の一筆書きは複雑だよ~
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
確かに複雑だよね!
もう少しメネラウスの定理について詳しく見てみよう!
三角形と直線に着目
メネラウスの定理は「三角形」と「直線」によってできる図形に用いられる定理
三角形の辺または三角形の辺の延長と直線の交点を『分点』とすると
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/06/a3b3cbe66c4200e144b14866b5649315.png)
三角形の3辺の間または延長にそれぞれ1点ずつ『分点』がとれる
(辺の間にできる点が辺の内分点,辺の延長にできる点が辺の外分点)
メネラウスの定理は,
三角形の頂点(どこでもよい)からスタートして,
頂点→分点→頂点→分点→頂点→分点→頂点
の順に一筆書きで作ることができる
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/06/3685ac0b912c56a21819d2af54f0ab11.png)
$\displaystyle{\frac{①}{②}・\frac{③}{④}・\frac{⑤}{⑥}=1}$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/949e0b080dc0cd3c8380884ac56b6c57.jpg)
「三角形」と「直線」を意識して,頂点→分点→頂点の順に一筆書き!
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/06/ecdd786008ea2e8afbd2d1286dbec754.png)
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/06/ee39a49eaa83d87a8e3aa2aedff66782.png)
メネラウスの定理の証明
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/06/ca419777cc594b4ff3890d544e0c5919-1.png)
$\displaystyle{\frac{BP}{PC}・\frac{CQ}{QA}・\frac{AR}{RB}=1}$ を証明する
[証明]
頂点 $A$ を通り,直線 $l$ に平行な直線を引き直線 $BC$ との交点を $D$ とすると
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/06/693b5ca0f9fb48945d4c2bcb77e326fe.png)
$\displaystyle{\frac{CQ}{QA}=\frac{CP}{PD}}$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/06/d1e3177e8d4f25650e79efd881248881.png)
$\displaystyle{\frac{AR}{RB}=\frac{DP}{PB}}$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/06/6d907eec9abdce204f5320ed6271ea49.png)
よって
$\displaystyle{\frac{BP}{PC}・\frac{CQ}{QA}・\frac{AR}{RB}=\frac{BP}{PC}・\frac{CP}{PD}・\frac{DP}{PB}=1}$
まとめ
● メネラウスの定理
$\displaystyle{\frac{BP}{PC}・\frac{CQ}{QA}・\frac{AR}{RB}=1}$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/06/ca419777cc594b4ff3890d544e0c5919-2.png)
「三角形」と「直線」に着目して,頂点→分点→頂点の順に一筆書き
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/06/3685ac0b912c56a21819d2af54f0ab11-1.png)
$\displaystyle{\frac{①}{②}・\frac{③}{④}・\frac{⑤}{⑥}=1}$
問題
(1) $CQ:QA$
(2) $PQ:QR$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/06/3eed1c40598cfdcec89e6c9f5070becb.png)
(1) $CQ:QA$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/06/33a5bc13450fe5bd5d811695747d0a65.png)
メネラウスの定理より
$\displaystyle{\frac{CQ}{QA}・\frac{2}{1}・\frac{5}{2}=1}$
$\displaystyle{\frac{CQ}{QA}・\frac{5}{1}=1}$
$\displaystyle{\frac{CQ}{QA}=\frac{1}{5}}$
よって $CQ:QA=1:5$
(2) $PQ:QR$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/06/1d1e3c84cdddd46a07aeb40cd31bad2d.png)
メネラウスの定理より
$\displaystyle{\frac{PQ}{QR}・\frac{2}{3}・\frac{3}{2}=1}$
$\displaystyle{\frac{CQ}{QA}・\frac{1}{1}=1}$
$\displaystyle{\frac{CQ}{QA}=\frac{1}{1}}$
よって $CQ:QA=1:1$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
チェバの定理と同様,メネラウスの定理もよく出題されるので,しっかり練習しよう!
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