三角形の外心・内心・重心

三角形の外心

三角形の各辺について，辺の垂直二等分線を引くと

辺の垂直二等分線は１点で交わる

その交点を「外心」とする

外心を点 $O$ とすると

$\triangle OAB$ と $\triangle OBC$ と$\triangle OCA$ は二等辺三角形となり

$OA=OB=OC$ が成り立つ

点 $O$ にコンパスの針を当てて

$OA$ を半径にして円を描くと

$\triangle ABC$ の外接円になる

点 $O$ (外心) は $\triangle ABC$ の外接円の中心である

三角形の内心

三角形について，角の二等分線を引くと

角の二等分線は１点で交わる

その交点を「内心」とする

内心を点 $I$ とすると

$\triangle BFI \equiv \triangle BDI$ より　$IF=ID$

$\triangle CDI \equiv \triangle CEI$ より　$ID=IE$

$\triangle AEI \equiv \triangle AFI$ より　$IE=IF$

よって　$ID=IE=IF$ が成り立つ

点 $I$ にコンパスの針を当てて

$OD$ を半径にして円を描くと

$\triangle ABC$ の内接円になる

点 $I$ (内心) は $\triangle ABC$ の内接円の中心である

三角形の重心

中線 … 三角形の頂点とそれに向かい合う辺の中点を結ぶ線分

三角形について，中線を引くと

中線は１点で交わる

この交点を「重心」という

重心は各中線を $2：1$ に内分する

まとめ

● 三角形の外心

• 辺の垂直二等分線の交点
• 三角形の外接円の中心

● 三角形の内心

• 角の二等分線の交点
• 三角形の内接円の中心

● 三角形の重心

• 中線の交点
• 各中線を $2：1$ に内分する