鈍角の三角比の考え方きちんと理解していますか?
鋭角の三角比は直角三角形で考えていましたが,鈍角の三角比は座標で考えるので少し難しく感じます!
ですが,基本をきちんとおさえることで必ず理解できます!
単位円を使った鈍角の三角比の考え方をわかりやすく解説します!
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
$ 0^\circ≦\theta≦180^\circ$ の三角比を考えてみよう!
鋭角の三角比の定義
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
鋭角($ 0^\circ<\theta<90^\circ$) の三角比は直角三角形で定義されていたね!
直角三角形の鋭角($90^\circ$ 未満の角)の1つを $\theta$ とし,斜辺の長さを $r$ ,その他の辺の長さを下図のように $x$,$y$ とするとき,三角比の定義は以下のようになる。
※ $x$ のことを $\theta$ の隣の辺なので「隣辺」,$y$ のことを $\theta$ の向かいの辺なので「対辺」とよぶこともある。
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/a999a68e51ff9f3571ccd206dd2ee71b-2.png)
$\displaystyle{\sin\theta=\frac{y}{r}}$, $\displaystyle{\cos\theta=\frac{x}{r}}$, $\displaystyle{\tan\theta=\frac{y}{x}}$
● $\sin\theta$ の覚え方
![sin(正弦)の覚え方](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/79c5587ee9e6437111c0a1ab52437c08.png)
$s$ の筆記体で $\displaystyle{\sin\theta=\frac{y}{r}}$
● $\cos\theta$ の覚え方
![cos(余弦)の覚え方](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/44e8c6fdf482603f674aca5c02f5064d.png)
$c$ と書いて $\displaystyle{\cos\theta=\frac{x}{r}}$
● $\tan\theta$ の覚え方
![tan(正接)の覚え方](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/86331a01c30de0dcb66ec0f3c77ea705.png)
$t$ の筆記体で $\displaystyle{\tan\theta=\frac{y}{x}}$
詳しく復習したい人はこれ↓
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/20210502-160x90.jpg)
座標を用いた三角比の定義
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/7336a811ba3708301ced4fe8d44b43db.jpg)
直角三角形だと 90° までしか三角比が定義できないね!
90° より大きい角の三角比はどうやって定義するのかな?
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90° より大きい角の三角比は,座標を用いて定義するよ!
座標平面上において原点を中心とする半径 $r$ の半円をかき,この半円と $x$ 軸の正の部分との交点を $A$ とする。
$∠AOP=\theta$ となる点 $P$ をこの半円上にとり,点 $P$ の座標を $(x,y)$ としたとき,
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結局,鋭角($ 0^\circ<\theta<90^\circ$) の三角比と定義の式は同じだね!
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大まかにみると同じだけど,
$x$ と $y$ が長さではなく座標になったことは注意しよう!
単位円による三角比の定義
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$r=1$ の円(単位円)を考えると,$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の定義がシンプルになるよ!
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$$\sin\theta=\frac{y}{r},\cos\theta=\frac{x}{r}$$
$$ \Downarrow r=1とする$$
$$\sin\theta=y,\cos\theta=x$$
$\sin\theta$ は単位円上の点の $y$ 座標,$\cos\theta$ は単位円上の点の $x$ 座標
用いる直角三角形
30$^\circ$,45$^\circ$,60$^\circ$ の直角三角形の斜辺の長さを $1$ にすると
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$\sin\theta$,$\cos\theta$ の値
$\sin\theta$ は $y$ 座標
$\cos\theta$ は $x$ 座標
● $\sin0^\circ=0$,$\cos0^\circ=1$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/db1ba00d5d9d65e83f0c00a1ab3caf99.png)
● $\displaystyle{\sin30^\circ=\frac{1}{2}}$,$ \displaystyle{ \cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}}$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/fc18b63258d8ccb61232920080893991.png)
● $ \displaystyle{ \sin45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}}$,$ \displaystyle{ \cos45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}}$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/56fbf468c0a476b13f27476edcb24666.png)
実際,$ \displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}}}$ と書くことが多いですが,
大小関係を分かりやすくするために $ \displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}$ と書いています
● $ \displaystyle{ \sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}}$,$ \displaystyle{ \cos60^\circ=\frac{1}{2}}$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/3aba30a84dd4fbcf278df63243a122bc.png)
● $\sin90^\circ=1$,$\cos90^\circ=0$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/55232f969e04447b34662299f25064b8-1.png)
● $ \displaystyle{ \sin120^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}}$,$ \displaystyle{ \cos120^\circ=-\frac{1}{2}}$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/fbaf6108c283aad3ce5edced6e9e4ad1-1.png)
● $ \displaystyle{ \sin135^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}}$,$ \displaystyle{ \cos135^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{2}}$
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● $ \displaystyle{ \sin150^\circ=\frac{1}{2}}$,$ \displaystyle{ \cos150^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}}$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/4f1461fccbf06fab354a4ec73772d710.png)
● $\sin180^\circ=0$,$\cos180^\circ=-1$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/c82a4362f44654534cac76e2059bb6c0.png)
$\theta$ | $ 0^\circ$ | $ 30^\circ$ | $ 45^\circ$ | $ 60^\circ$ | $ 90^\circ$ | $ 120^\circ$ | $ 135^\circ$ | $ 150^\circ$ | $ 180^\circ$ |
$\sin\theta$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ |
$\cos\theta$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $-\frac{1}{2}$ | $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $-1$ |
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$\sin\theta$ は $y$ 座標なので,$\theta$ が大きくなるにつれて,
$ 90^\circ$ までは大きくなり,$ 90^\circ$ 以降は小さくなる
$\cos\theta$ は $x$ 座標なので,$\theta$ が大きくなるにつれて,小さくなる
$\tan\theta$ の値
$\tan\theta$ は $ \displaystyle{ \frac{y}{x}}$ なので,$\tan\theta$ は直角三角形の斜辺の傾きを表している
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$\tan\theta$ は傾き
● $ \displaystyle{ \tan30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}}$,$\tan45^\circ=1$,$ \tan60^\circ=\sqrt{3}$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/6a4b705ba9e148d734ef3b43f200b67b.png)
● $\tan120^\circ=-\sqrt{3}$,$\tan135^\circ=-1$,$ \displaystyle{ \tan150^\circ=-\frac{1}{\sqrt{3}}}$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/ecb4bf7ac0d7c25430ed7aaa090621e9.png)
● $\tan0^\circ=0$,$\tan180^\circ=0$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/216e4c10b53fffa2954d39e1e12ef31d.png)
$ 0^\circ$,$ 180^\circ$ のときの傾きは $0$
(全く傾いていない)
● $\tan90^\circ$ はなし
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/edc7f93a483ff76bc7ca204359290547.png)
$ 90^\circ$ のときの傾きは「定義できない」
(傾きすぎ)
$\theta$ | $ 0^\circ$ | $ 30^\circ$ | $ 45^\circ$ | $ 60^\circ$ | $ 90^\circ$ | $ 120^\circ$ | $135^\circ$ | $ 150^\circ$ | $ 180^\circ$ |
$\tan\theta$ | $0$ | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | × | $-\sqrt{3}$ | $-1$ | $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ | $0$ |
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/0679a791618e01dd9ded4c91ef2e4f98.png)
三角比の符号
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
鋭角と鈍角における三角比の符号をきちんとおさえておこう!
$\theta$ | 鋭角 | 鈍角 |
$\sin\theta$ | $+$ | $+$ |
$\cos\theta$ | $+$ | $-$ |
$\tan\theta$ | $+$ | $-$ |
鋭角は $ 0^\circ<\theta<90^\circ$,鈍角は $ 90^\circ<\theta<180^\circ$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/4a2263d6f1ecde362b40531c11f224e7.png)
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
鈍角における $\cos\theta$ と $\tan\theta$ が負になることがポイント!
まとめ
● 三角比の定義
$ \displaystyle{ \sin\theta=\frac{y}{r},\cos\theta=\frac{x}{r},\tan\theta=\frac{y}{x}}$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/c1b524506508e09fb3eedae9e5476ad1-1.png)
● $\sin\theta$ は $y$ 座標,$\cos\theta$ は $x$ 座標
($r=1$ とすると)
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/012a7aba70bf29dbc2fbcfd91a58fe1a-1.png)
● $\tan\theta$ は傾き
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/0679a791618e01dd9ded4c91ef2e4f98-1.png)
● 三角比の値
$\theta$ | $ 0^\circ$ | $ 30^\circ$ | $ 45^\circ$ | $ 60^\circ$ | $ 90^\circ$ | $ 120^\circ$ | $ 135^\circ$ | $ 150^\circ$ | $ 180^\circ$ |
$\sin\theta$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ |
$\cos\theta$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $-\frac{1}{2}$ | $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $-1$ |
$\tan\theta$ | $0$ | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | × | $-\sqrt{3}$ | $-1$ | $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ | $0$ |
● 三角比の符号
$\theta$ | 鋭角 | 鈍角 |
$\sin\theta$ | $+$ | $+$ |
$\cos\theta$ | $+$ | $-$ |
$\tan\theta$ | $+$ | $-$ |
鈍角における $\cos\theta$ と $\tan\theta$ が負になる
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
きちんと理解しておけば,数Ⅱの三角関数にも使えるよ!
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