三角比の拡張

鈍角の三角比の考え方きちんと理解していますか？

鋭角の三角比は直角三角形で考えていましたが，鈍角の三角比は座標で考えるので少し難しく感じます！

ですが，基本をきちんとおさえることで必ず理解できます！

単位円を使った鈍角の三角比の考え方をわかりやすく解説します！

　

鋭角の三角比の定義

直角三角形の鋭角（${90}^{\circ }$ 未満の角）の１つを $\theta$ とし，斜辺の長さを $r$ ，その他の辺の長さを下図のように $x$，$y$ とするとき，三角比の定義は以下のようになる。
※ $x$ のことを $\theta$ の隣の辺なので「隣辺」，$y$ のことを $\theta$ の向かいの辺なので「対辺」とよぶこともある。

● $\sin \theta$ の覚え方

$s$ の筆記体で ${\displaystyle \sin \theta =\frac{y}{r}}$

● $\cos \theta$ の覚え方

$c$ と書いて ${\displaystyle \cos \theta =\frac{x}{r}}$

● $\tan \theta$ の覚え方

$t$ の筆記体で ${\displaystyle \tan \theta =\frac{y}{x}}$

　

詳しく復習したい人はこれ↓

三角比の基本

数学Ⅰの三角比が最初からよくわからない人必見！ 30°，45°，60°における三角比を丁寧に解説しました！ 三角比の最初は直角三角形の辺の比を考えることが重要！ ここがわからなければ，三角比はわからないままです！ この投稿を見れば，三角比の基本はばっちり！

enjoy-mathematics.com

2023.08.09

座標を用いた三角比の定義

座標平面上において原点を中心とする半径 $r$ の半円をかき，この半円と $x$ 軸の正の部分との交点を $A$ とする。

$\angle AOP=\theta$ となる点 $P$ をこの半円上にとり，点 $P$ の座標を $(x，y)$ としたとき，

単位円による三角比の定義

$$\sin \theta =\frac{y}{r}，\cos \theta =\frac{x}{r}$$

$$\Downarrow r=1\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}$$

$$\sin \theta =y，\cos \theta =x$$

$\sin \theta$ は単位円上の点の $y$ 座標，$\cos \theta$ は単位円上の点の $x$ 座標

用いる直角三角形

30${}^{\circ }$，45${}^{\circ }$，60${}^{\circ }$ の直角三角形の斜辺の長さを $1$ にすると

$\sin \theta$，$\cos \theta$ の値

● $\sin 0^{\circ }=0$，$\cos 0^{\circ }=1$

● ${\displaystyle \sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}}$，${\displaystyle \cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}}$

● ${\displaystyle \sin {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}}$，${\displaystyle \cos {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}}$

　実際，${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$ と書くことが多いですが，
　大小関係を分かりやすくするために ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ と書いています

● ${\displaystyle \sin {60}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}}$，${\displaystyle \cos {60}^{\circ }=\frac{1}{2}}$

● $\sin {90}^{\circ }=1$，$\cos {90}^{\circ }=0$

● ${\displaystyle \sin {120}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}}$，${\displaystyle \cos {120}^{\circ }=-\frac{1}{2}}$

● ${\displaystyle \sin {135}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}}$，${\displaystyle \cos {135}^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}}$

● ${\displaystyle \sin {150}^{\circ }=\frac{1}{2}}$，${\displaystyle \cos {150}^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}}$

● $\sin {180}^{\circ }=0$，$\cos {180}^{\circ }=-1$

$\theta$	$0^{\circ }$	${30}^{\circ }$	${45}^{\circ }$	${60}^{\circ }$	${90}^{\circ }$	${120}^{\circ }$	${135}^{\circ }$	${150}^{\circ }$	${180}^{\circ }$
$\sin \theta$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\cos \theta$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-1$

$\sin \theta$ は $y$ 座標なので，$\theta$ が大きくなるにつれて，
${90}^{\circ }$ までは大きくなり，${90}^{\circ }$ 以降は小さくなる

$\cos \theta$ は $x$ 座標なので，$\theta$ が大きくなるにつれて，小さくなる

$\tan \theta$ の値

$\tan \theta$ は ${\displaystyle \frac{y}{x}}$ なので，$\tan \theta$ は直角三角形の斜辺の傾きを表している

● ${\displaystyle \tan {30}^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}}$，$\tan {45}^{\circ }=1$，$\tan {60}^{\circ }=\sqrt{3}$

● $\tan {120}^{\circ }=-\sqrt{3}$，$\tan {135}^{\circ }=-1$，${\displaystyle \tan {150}^{\circ }=-\frac{1}{\sqrt{3}}}$

● $\tan 0^{\circ }=0$，$\tan {180}^{\circ }=0$

$0^{\circ }$，${180}^{\circ }$ のときの傾きは $0$
（全く傾いていない）

● $\tan {90}^{\circ }$ はなし

${90}^{\circ }$ のときの傾きは「定義できない」
（傾きすぎ）

$\theta$	$0^{\circ }$	${30}^{\circ }$	${45}^{\circ }$	${60}^{\circ }$	${90}^{\circ }$	${120}^{\circ }$	${135}^{\circ }$	${150}^{\circ }$	${180}^{\circ }$
$\tan \theta$	$0$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$	×	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	$0$

三角比の符号

$\theta$	鋭角	鈍角
$\sin \theta$	$+$	$+$
$\cos \theta$	$+$	$-$
$\tan \theta$	$+$	$-$

鋭角は $0^{\circ }<\theta <{90}^{\circ }$，鈍角は ${90}^{\circ }<\theta <{180}^{\circ }$

　

まとめ

● 三角比の定義

　${\displaystyle \sin \theta =\frac{y}{r}，\cos \theta =\frac{x}{r}，\tan \theta =\frac{y}{x}}$

● $\sin \theta$ は $y$ 座標，$\cos \theta$ は $x$ 座標
　（$r=1$ とすると）

● $\tan \theta$ は傾き

● 三角比の値

$\theta$	$0^{\circ }$	${30}^{\circ }$	${45}^{\circ }$	${60}^{\circ }$	${90}^{\circ }$	${120}^{\circ }$	${135}^{\circ }$	${150}^{\circ }$	${180}^{\circ }$
$\sin \theta$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\cos \theta$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-1$
$\tan \theta$	$0$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$	×	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	$0$

● 三角比の符号

$\theta$	鋭角	鈍角
$\sin \theta$	$+$	$+$
$\cos \theta$	$+$	$-$
$\tan \theta$	$+$	$-$

　鈍角における $\cos \theta$ と $\tan \theta$ が負になる