高校数学Ⅱの【三角関数】で学ぶ『三角関数のグラフの拡大・縮小と平行移動』について解説！
拡大・縮小について２種類，平行移動について２種類
を理解すれば完璧です！
この投稿を見れば，三角関数の式とグラフの関係はバッチリ！
三角関数のグラフの拡大・縮小と平行移動のパターン
$y=\sin\theta$ のグラフに対して
(ア) $y=a\sin\theta$ ➡ $y$ 軸方向に $a$ 倍に拡大（縮小）
(イ) $y=\sin k\theta$ ➡ $\theta$ 軸方向に $\displaystyle{\frac{1}{k}}$ 倍に拡大（縮小）
(ウ) $y=\sin\theta+q$ ➡ $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動
(エ) $y=\sin(\theta-p)$ ➡ $\theta$ 軸方向に $p$ だけ平行移動
(ア) 縦 の 拡大・縮小
(イ) 横 の 拡大・縮小
(ウ) 縦 の 平行移動
(エ) 横 の 平行移動
の４パターンを理解すれば完璧！
$y=a\sin\theta$（縦の拡大・縮小）
$y=\sin\theta$ のグラフに対して
(ア) $y=a\sin\theta$ ➡ $y$ 軸方向に $a$ 倍に拡大（縮小）
縦の拡大・縮小なので
周期は変わらず $2\pi$ である
$y=3\sin\theta$ のグラフは，$y=\sin\theta$ のグラフを $y$ 軸方向に $3$ 倍拡大した曲線
よって，周期は $2\pi$
$y=\sin k\theta$（横の拡大・縮小）
$y=\sin\theta$ のグラフに対して
(イ) $y=\sin k\theta$ ➡ $\theta$ 軸方向に $\displaystyle{\frac{1}{k}}$ 倍に拡大（縮小）
$y=\sin\theta$ の周期 $2\pi$ に対して，
$y=\sin k\theta$ の周期は $\displaystyle{\frac{1}{k}}$ 倍（逆数倍）されるので
$y=\sin k\theta$ の周期は $\displaystyle{\frac{2\pi}{k}}$ である
(1) $y=\sin 2\theta$ (2) $y=\sin 3\theta$ (3) $\displaystyle{y=\sin\frac{\theta}{2}}$
(1) $y=\sin 2\theta$ のグラフは，$y=\sin\theta$ のグラフを $\theta$ 軸方向に $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ 倍に縮小した曲線
周期は $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ 倍されるので $\displaystyle{2\pi\times\frac{1}{2}=\pi}$
よって，$y=\sin2\theta$ の周期は $\pi$
(2) $y=\sin3\theta$ のグラフは，$y=\sin\theta$ のグラフを $\theta$ 軸方向に $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ 倍に縮小した曲線
周期は $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ 倍されるので $\displaystyle{2\pi\times\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\pi}$
よって，$y=\sin3\theta$ の周期は $\displaystyle{\frac{2}{3}\pi}$
(3) $\displaystyle{y=\sin\frac{\theta}{2}}$ のグラフは，$y=\sin\theta$ のグラフを $\theta$ 軸方向に $2$ 倍拡大した曲線
周期は $2$ 倍されるので $2\pi\times2=4\pi$
よって，$\displaystyle{y=\sin\frac{\theta}{2}}$ の周期は $4\pi$
$y=\sin\theta+q$（縦の平行移動）
$y=\sin\theta$ のグラフに対して
(ウ) $y=\sin\theta+q$ ➡ $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動
縦の平行移動なので
周期は変わらず $2\pi$ である
2 次関数 $y=x^2+1$ が $y=x^2$ を $y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動したグラフ
であることと同様
$y=\sin\theta+1$ のグラフは，$y=\sin\theta$ のグラフを $y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動した曲線
よって，周期は $2\pi$
$y=\sin(\theta-p)$（横の平行移動）
$y=\sin\theta$ のグラフに対して
(エ) $y=\sin(\theta-p)$ ➡ $\theta$ 軸方向に $p$ だけ平行移動
横の平行移動なので
周期は変わらず $2\pi$ である
2 次関数 $y=(x-1)^2$ が $y=x^2$ を $x$ 軸方向に $1$ だけ平行移動したグラフ
であることと同様
(1) $\displaystyle{y=\sin\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)}$ (2) $\displaystyle{y=\sin\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)}$
(1) $\displaystyle{y=\sin\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)}$ のグラフは，$y=\sin\theta$ のグラフを $\theta$ 軸方向に $\displaystyle{\frac{\pi}{6}}$ だけ平行移動した曲線
よって，周期は $2\pi$
(2) $\displaystyle{y=\sin\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)}$ のグラフは，$y=\sin\theta$ のグラフを $\theta$ 軸方向に $\displaystyle{-\frac{\pi}{6}}$ だけ平行移動した曲線
よって，周期は $2\pi$
$y=a\sin k(\theta-p)+q$ のグラフ
$y=\displaystyle{3\sin\left(2\theta+\frac{\pi}{3}\right)+1=3\sin2\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+1}$
このグラフは，$y=\sin\theta$ のグラフを
$y$ 軸方向に $3$ 倍に拡大，
$\theta$ 軸方向に $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ 倍に縮小
した後，
$y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動し，
$\theta$ 軸方向に $\displaystyle{-\frac{\pi}{6}}$ だけ平行移動した曲線
よって，周期は $\displaystyle{2\pi\times\frac{1}{2}=\pi}$ である
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