三角関数 tan の値を学ぼう！
数学Ⅰの三角比の定義
まずは，数学Ⅰの「三角比」の復習から！
鋭角の三角比
直角三角形の鋭角（90$^\circ$ 未満の角）の１つを $\theta$ とし，斜辺の長さを $r$ ，その他の辺の長さを下図のように $x$，$y$ とするとき，三角比の定義は以下のようになる。
● $\sin\theta$ の覚え方
$s$ の筆記体で $\displaystyle{\sin\theta=\frac{y}{r}}$
● $\cos\theta$ の覚え方
$c$ と書いて $\displaystyle{\cos\theta=\frac{x}{r}}$
● $\tan\theta$ の覚え方
$t$ の筆記体で $\displaystyle{\tan\theta=\frac{y}{x}}$
鈍角の三角比
直角三角形では，鋭角しか三角比が定義できないので，
鈍角の三角比は座標で定義するよ！
座標平面上において原点を中心とする半径 $r$ の半円をかき，この半円と $x$ 軸の正の部分との交点を $A$ とする。
$∠AOP=\theta$ となる点 $P$ をこの半円上にとり，点 $P$ の座標を $(x，y)$ としたとき，
鋭角も鈍角も三角比の定義式は同じだね！
同じだけど，鈍角の $x$ と $y$ については座標になっていることに気を付けよう！
数学Ⅰ「三角比の値」の復習はこれ↓
三角関数の定義
座標平面上において原点を中心とする半径 $r$ の円をかき，
下図のように点 $P(x，y)$ ，角 $\theta$ をとる
三角関数の値（sinとcos）はこれ↓
$\tan\theta$ が表しているもの
$\tan\theta$ の定義をもとに，$\tan\theta$ が表しているものを考えよう！
$$\displaystyle{\tan\theta=\frac{y}{x}}$$
直線 $OP$ の傾きが $\displaystyle{\frac{y}{x}}$
$\tan\theta$ は傾き
単位円を用いた $\tan\theta$ の表し方
$r=1$ にしても $\displaystyle{\tan\theta=\frac{y}{x}}$ の定義式は変わらない
下図における，どこの値が $\tan\theta$ の値になるか
傾きについて
$\displaystyle{傾き=\frac{yの変化量}{xの変化量}}$
$x$ の変化量を $1$ で固定すると，$y$ の変化量が傾きになる
以上より，傾き $m$ の直線は以下のようになる
$\tan\theta$ の値は傾きを表しているので，以下のように考える
$$\tan\theta=m$$
$\tan\theta$ の値
● $\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{6}}$ のとき
$$\displaystyle{\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}}$$
● $\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{4}}$ のとき
$$\displaystyle{\tan\frac{\pi}{4}=1}$$
● $\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{3}}$ のとき
$$\displaystyle{\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}}$$
● $\displaystyle{\theta=\frac{2}{3}\pi}$ のとき
$$\displaystyle{\tan\frac{2}{3}\pi=-\sqrt{3}}$$
● $\displaystyle{\theta=\frac{3}{4}\pi}$ のとき
$$\displaystyle{\tan\frac{3}{4}\pi=-1}$$
● $\displaystyle{\theta=\frac{5}{6}\pi}$ のとき
$$\displaystyle{\tan\frac{5}{6}\pi=-\frac{1}{\sqrt{3}}}$$
ちょっと難しいのが，$\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{2}}$ のとき！
● $\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{2}}$ のとき
$\displaystyle{\tan\frac{\pi}{2}}$ は定義できない
定義できない理由
$\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{2}}$ のとき，単位円上における座標は $(0，1)$
すなわち $\displaystyle{\tan\frac{\pi}{2}=\frac{1}{0}}$
分母が $0$ だと，数として存在できないので，
$\displaystyle{\tan\frac{\pi}{2}}$ は定義できない
補足 分母に $0$ だと，数として存在できない理由
$\displaystyle{a=\frac{1}{0}}$ が存在すると仮定すると
両辺に $0$ をかけて $a\times0=1$
このとき，左辺は $a$ がどのような値でも $0$ になるので
等式を満たすような $a$ は存在しない
したがって，$\displaystyle{\frac{1}{0}}$ は存在しない
$\tan\theta$ の値まとめ
１つの図にまとめるとこんな感じ！
| $\theta$ | $0$ | $\displaystyle{\frac{\pi}{6}}$ | $\displaystyle{\frac{\pi}{4}}$ | $\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$ | $\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$ | $\displaystyle{\frac{2}{3}\pi}$ | $\displaystyle{\frac{3}{4}\pi}$ | $\displaystyle{\frac{5}{6}\pi}$ | $\pi$ |
| $\tan\theta$ | $0$ | $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{3}}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | なし | $-\sqrt{3}$ | $-1$ | $\displaystyle{-\frac{1}{\sqrt{3}}}$ | $0$ |
| $\theta$ | $\pi$ | $\displaystyle{\frac{7}{6}\pi}$ | $\displaystyle{\frac{5}{4}\pi}$ | $\displaystyle{\frac{4}{3}\pi}$ | $\displaystyle{\frac{3}{2}\pi}$ | $\displaystyle{\frac{5}{3}\pi}$ | $\displaystyle{\frac{7}{4}\pi}$ | $\displaystyle{\frac{11}{6}\pi}$ | $2\pi$ |
| $\tan\theta$ | $0$ | $\displaystyle{-\frac{1}{\sqrt{3}}}$ | $-1$ | $-\sqrt{3}$ | なし | $\sqrt{3}$ | $1$ | $\displaystyle{-\frac{1}{\sqrt{3}}}$ | $0$ |
$\tan\theta$ の符号
$\tan\theta$ は傾き
これをもとに符号を考えると以下のようになる！
まとめ
● 三角関数 $\tan\theta$ の定義
$$\displaystyle{\tan\theta=\frac{y}{x}}$$
$\tan\theta$ は直線 $OP$ の傾きを表している
● $\tan\theta$ の考え方
$$\tan\theta=m$$
● $\tan\theta$ の値
● $\tan\theta$ の符号
$\tan\theta$ は傾き
これで三角関数の値はばっちり！
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