高校数学Ⅱの【三角関数】で学ぶ『三角関数の合成を用いる不等式』について解説！
三角関数の合成を用いる不等式は，模試でも頻出の問題！
この投稿を見て，確実に解けるように練習しよう！
三角関数の合成
三角関数の合成の復習をしよう！
$a\sin\theta+b\cos\theta$ の合成
- 点 $(a，b)$ をとる
- $r$ と $\alpha$ を求める
- $r\sin(\theta+\alpha)$ に式変形する
「三角関数の合成」詳しくはこれ↓
三角関数の合成を用いる不等式
「三角関数の合成」と「置き換え」を上手く使いながら，方程式を解こう！
左辺の $\sqrt{3}\sin\theta-\cos\theta$ を合成すると
$\displaystyle{\sqrt{3}\sin\theta-\cos\theta=2\sin\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)}$
よって
$\sqrt{3}\sin\theta-\cos\theta≧1$
$\displaystyle{2\sin\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)≧1}$
$\displaystyle{\sin\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)≧\frac{1}{2}}$
$\displaystyle{\theta-\frac{\pi}{6}=t}$ とすると
$\displaystyle{\sin t≧\frac{1}{2}}$
$0≦\theta<2\pi$ より
$0≦\theta<2\pi$
$\displaystyle{0-\frac{\pi}{6}≦\theta-\frac{\pi}{6}<2\pi-\frac{\pi}{6}}$
$\displaystyle{-\frac{\pi}{6}≦\theta-\frac{\pi}{6}<\frac{11}{6}\pi}$
$\displaystyle{-\frac{\pi}{6}≦t<\frac{11}{6}\pi}$
よって
$\displaystyle{\sin t≧\frac{1}{2} \left(-\frac{\pi}{6}≦t<\frac{11}{6}\pi\right)}$
$\displaystyle{-\frac{\pi}{6}≦t<\frac{11}{6}\pi}$ の範囲で $\displaystyle{\sin t≧\frac{1}{2}}$ を解くと
$\displaystyle{\frac{\pi}{6}≦t≦\frac{5}{6}\pi}$
$\displaystyle{\frac{\pi}{6}≦\theta-\frac{\pi}{6}≦\frac{5}{6}\pi}$
したがって $\displaystyle{\frac{\pi}{3}≦\theta≦\pi}$
「置き換え」をして解くことが大切！
次の問題は間違えやすいので注意！
左辺の $\sqrt{3}\sin\theta-\cos\theta$ を合成すると
$\displaystyle{\sqrt{3}\sin\theta-\cos\theta=2\sin\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)}$
よって
$\sqrt{3}\sin\theta-\cos\theta<1$
$\displaystyle{2\sin\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)<1}$
$\displaystyle{\sin\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)<\frac{1}{2}}$
$\displaystyle{\theta-\frac{\pi}{6}=t}$ とすると
$\displaystyle{\sin t<\frac{1}{2}}$
$0≦\theta<2\pi$ より
$0≦\theta<2\pi$
$\displaystyle{0-\frac{\pi}{6}≦\theta-\frac{\pi}{6}<2\pi-\frac{\pi}{6}}$
$\displaystyle{-\frac{\pi}{6}≦\theta-\frac{\pi}{6}<\frac{11}{6}\pi}$
$\displaystyle{-\frac{\pi}{6}≦t<\frac{11}{6}\pi}$
よって
$\displaystyle{\sin t<\frac{1}{2} \left(-\frac{\pi}{6}≦t<\frac{11}{6}\pi\right)}$
$\displaystyle{-\frac{\pi}{6}≦t<\frac{11}{6}\pi}$ の範囲で $\displaystyle{\sin t<\frac{1}{2}}$ を解くと
$\displaystyle{-\frac{\pi}{6}≦t<\frac{\pi}{6}}$，$\displaystyle{\frac{5}{6}\pi<t<\frac{11}{6}\pi}$
$\displaystyle{-\frac{\pi}{6}≦\theta-\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{6}}$，$\displaystyle{\frac{5}{6}\pi<\theta-\frac{\pi}{6}<\frac{11}{6}\pi}$
したがって $\displaystyle{0≦\theta<\frac{\pi}{3}}$，$\displaystyle{\pi<\theta<\pi}$
まとめ
● 三角関数の合成を用いる不等式
$a\sin\theta+b\cos\theta$ を $r\sin(\theta+\alpha)$ に式変形する
$\theta+\alpha$ を $t$ で置き換える
$t$ の範囲を踏まえて，方程式を満たす $t$ を求める
$t$ を $\theta+\alpha$ に戻す
慣れないうちは，置き換えをして解くのがコツ！
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