三角関数の式の値

$\displaystyle{\sin\theta+\cos\theta=\frac{2}{3}}$ のとき，次の値を求めよ。ただし，$\displaystyle{-\frac{\pi}{2}<\theta<0}$ とする。
(1)　$\sin\theta\cos\theta$　　　　　　 　(2)　$\sin^3\theta+\cos^3\theta$
(3)　$\sin\theta-\cos\theta$　　　　　　(4)　$\sin^4\theta+\cos^4\theta$

(1)　$\sin\theta\cos\theta$

　　手順①　$\displaystyle{\sin\theta+\cos\theta=\frac{2}{3}}$ の両辺を２乗する
　　手順②　$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ を利用する

(2)　$\sin^3\theta+\cos^3\theta$

　　$\sin^3\theta+\cos^3\theta=(\sin\theta+\cos\theta)(\sin^2\theta-\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta)$
　　$\sin^3\theta+\cos^3\theta=(\sin\theta+\cos\theta)^3-3\sin\theta\cos\theta(\sin\theta+\cos\theta)$
　　のいずれかを利用する

(3)　$\sin\theta-\cos\theta$

　　手順①　$(\sin\theta-\cos\theta)^2$ を計算する
　　手順②　$\theta$ の範囲から $\sin\theta$ と $\cos\theta$ の符号を考える
　　手順③　$\sin\theta-\cos\theta$ の符号に気をつけて２乗を外す

(4)　$\sin^4\theta+\cos^4\theta$

　　$\sin^4\theta+\cos^4\theta=(\sin^2\theta+\cos^2\theta)^2-2\sin^2\theta\cos^2\theta$ を利用する

$\displaystyle{\sin\theta+\cos\theta=\frac{2}{3}}$ のとき，次の値を求めよ。ただし，$\displaystyle{-\frac{\pi}{2}<\theta<0}$ とする。
(1)　$\sin\theta\cos\theta$　　　　　　 　(2)　$\sin^3\theta+\cos^3\theta$
(3)　$\sin\theta-\cos\theta$　　　　　　(4)　$\sin^4\theta+\cos^4\theta$

(1)　$\displaystyle{\sin\theta+\cos\theta=\frac{2}{3}}$ の両辺を２乗すると
　　　　　　$\displaystyle{(\sin\theta+\cos\theta)^2=\left(\frac{2}{3}\right)^2}$
　　　　　　$\displaystyle{\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta=\frac{4}{9}}$　　　←　$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$
　　　　　　$\displaystyle{1+2\sin\theta\cos\theta=\frac{4}{9}}$
　　よって　　$\displaystyle{\sin\theta\cos\theta=-\frac{5}{18}}$

(2)　$\sin^3\theta+\cos^3\theta=(\sin\theta+\cos\theta)(\sin^2\theta-\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta)$　　　←　$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$
　　　　　　　　 　$\displaystyle{=\frac{2}{3}\left\{1-\left(-\frac{5}{18}\right)\right\}=\frac{23}{27}}$

(3)　$(\sin\theta-\cos\theta)^2=\sin^2\theta-2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta$
　　　　　　　　　　$\displaystyle{=1-2\cdot\left(-\frac{5}{18}\right)=\frac{14}{9}}$
　　$\displaystyle{-\frac{\pi}{2}<\theta<0}$ より　　$\sin\theta<0$，$\cos\theta>0$
　　よって　　$\sin\theta-\cos\theta<0$　　←　負－正 は 負
　　したがって　　$\displaystyle{\sin\theta-\cos\theta=-\frac{\sqrt{14}}{3}}$

(4)　$\sin^4\theta+\cos^4\theta=(\sin^2\theta+\cos^2\theta)^2-2\sin^2\theta\cos^2\theta$
　　　　　　 　　　$\displaystyle{=1^2-2\cdot\left(-\frac{5}{18}\right)^2=\frac{137}{162}}$