高校数学Ⅱの【三角関数】で学ぶ『三角関数を含む不等式』について解説！
三角関数の中でも基本中の基本である不等式を完璧に理解しよう！
この投稿を見れば，『三角関数を含む不等式』はバッチリ！
三角関数を含む不等式を解けるようになろう！
三角関数を含む方程式
$\sin$ は $y$ 座標
$\cos$ は $x$ 座標
$\tan$ は 傾き
$\sin$
「$\sin$ は $y$ 座標」を用いて方程式を解こう！
単位円における $y$ 座標が $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ の点を求めると
$0≦\theta<2\pi$ であるから $\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{6}，\frac{5}{6}\pi}$
$0≦\theta<2\pi$ というのは，「１周で」という意味！
単位円で $\sin\theta$ の値を考えると下のような図になる！
$\cos$
「$\cos$ は $x$ 座標」を用いて方程式を解こう！
単位円における $x$ 座標が $\displaystyle{-\frac{1}{2}}$ の点を求めると
$0≦\theta<2\pi$ であるから $\displaystyle{\theta=\frac{2}{3}\pi，\frac{4}{3}\pi}$
単位円で $\cos\theta$ の値を考えると下のような図になる！
$\sin\theta$ も $\cos\theta$ も $\displaystyle{±\frac{1}{2}，±\frac{1}{\sqrt{2}}，±\frac{\sqrt{3}}{2}}$ のところに線を引くことになるね！
$\displaystyle{\frac{1}{2}<\frac{1}{\sqrt{2}}<\frac{\sqrt{3}}{2}}$ という大小関係を意識して線を引けば，角度は求まる！
$\tan$
「$\tan$ は傾き」を用いて方程式を解こう！
傾きが $1$ すなわち $x=1$ 上の点 $(1，1)$ を通る直線を引くと
$0≦\theta<2\pi$ であるから $\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{4}，\frac{5}{4}\pi}$
$\tan\theta$ の値についてまとめると以下のようになる！
詳しくはこれ↓
三角関数を含む不等式
方程式とキーワードは変わらない！
$\sin$ は $y$ 座標
$\cos$ は $x$ 座標
$\tan$ は 傾き
$\sin$
単位円における $y$ 座標が $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ より大きいところを図示すると
$0≦\theta<2\pi$ より $\displaystyle{\frac{\pi}{6}<\theta<\frac{5}{6}\pi}$
$y$ 座標が $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ より大きいので，$\displaystyle{y=\frac{1}{2}}$ より上側！
単位円における $y$ 座標が $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ 以下のところを図示すると
$0≦\theta<2\pi$ より $\displaystyle{0≦\theta≦\frac{\pi}{6}，\frac{5}{6}\pi≦\theta<2\pi}$
$y$ 座標が $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ 以下なので，$\displaystyle{y=\frac{1}{2}}$ より下側！
$\cos$
単位円における $x$ 座標が $\displaystyle{-\frac{1}{2}}$ 以下のところを図示すると
$0≦\theta<2\pi$ より $\displaystyle{\frac{2}{3}≦\theta≦\frac{4}{3}\pi}$
$x$ 座標が $\displaystyle{-\frac{1}{2}}$ 以下なので，$\displaystyle{x=-\frac{1}{2}}$ より左側！
単位円における $x$ 座標が $\displaystyle{-\frac{1}{2}}$ より大きいところを図示すると
$0≦\theta<2\pi$ より $\displaystyle{0≦\theta<\frac{2}{3}\pi，\frac{4}{3}\pi<\theta<2\pi}$
$x$ 座標が $\displaystyle{-\frac{1}{2}}$ より大きいので，$\displaystyle{x=-\frac{1}{2}}$ より右側！
$\tan$
傾きが $1$ 以上のところを図示すると
$0≦\theta<2\pi$ より $\displaystyle{\frac{\pi}{4}≦\theta<\frac{\pi}{2}，\frac{5}{4}\pi≦\theta<\frac{3}{2}\pi}$
傾きが $1$ より急になる範囲だね！
$\displaystyle{\frac{\pi}{2}，\frac{3}{2}\pi}$ は $\tan$ の値がないので，イコールがつかない！
傾きが $1$ より小さいところを図示すると
$0≦\theta<2\pi$ より $\displaystyle{0≦\theta<\frac{\pi}{4}，\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{5}{4}\pi，\frac{3}{2}\pi<\theta<2\pi}$
$\tan\theta≧1$ 以外のところが答えになるね！
まとめ
● 三角関数を含む方程式・不等式のキーワード
$\sin$ は $y$ 座標
$\cos$ は $x$ 座標
$\tan$ は 傾き
単位円をかいて，満たすべきところを図示する
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