三角関数を含む方程式

高校数学Ⅱの【三角関数】で学ぶ『三角関数を含む方程式』について解説！

三角関数の中でも基本中の基本である方程式を完璧に理解しよう！

この投稿を見れば，『三角関数を含む方程式』はバッチリ！

　

三角関数の定義

座標平面上において原点を中心とする半径 $r$ の円をかき，

下図のように点 $P(x，y)$ ，角 $\theta$ をとる

単位円を用いた三角関数

$\sin\theta$ と $\cos\theta$

$$\sin\theta=\frac{y}{r}，\cos\theta=\frac{x}{r}$$

$$　　　　　　\Downarrow 　　r=1とする$$

$$\sin\theta=y，\cos\theta=x$$

$\tan\theta$

$$\displaystyle{\tan\theta=\frac{y}{x}}$$

直線 $OP$ の傾きが　$\displaystyle{\frac{y}{x}}$

$\tan\theta$ の値は傾きを表しているので，以下のように考える

$$\tan\theta=m$$

三角関数を含む方程式

$\sin$

　単位円における $y$ 座標が $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ の点を求めると

　$0≦\theta<2\pi$ であるから　　$\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{6}，\frac{5}{6}\pi}$

　

$\cos$

　単位円における $x$ 座標が $\displaystyle{-\frac{1}{2}}$ の点を求めると

　$0≦\theta<2\pi$ であるから　　$\displaystyle{\theta=\frac{2}{3}\pi，\frac{4}{3}\pi}$

　

$\tan$

　傾きが $1$　すなわち　$x=1$ 上の点 $(1，1)$ を通る直線を引くと

　$0≦\theta<2\pi$ であるから　　$\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{4}，\frac{5}{4}\pi}$

問題

(1)　$\displaystyle{\sin\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}}$

　 $0≦\theta<2\pi$ であるから　　$\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{4}，\frac{3}{4}\pi}$

(2)　$\displaystyle{\sin\theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}}$

　$0≦\theta<2\pi$ であるから　　$\displaystyle{\theta=\frac{4}{3}\pi，\frac{5}{3}\pi}$

(3)　$\displaystyle{\cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}}$

　$0≦\theta<2\pi$ であるから　　$\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{6}，\frac{11}{6}\pi}$

(4)　$\displaystyle{\cos\theta=-\frac{1}{\sqrt{2}}}$

　$0≦\theta<2\pi$ であるから　　$\displaystyle{\theta=\frac{3}{4}\pi，\frac{5}{4}\pi}$

(5)　$\displaystyle{\tan\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}}$

　$0≦\theta<2\pi$ であるから　　$\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{6}，\frac{7}{6}\pi}$

(6)　$\displaystyle{\tan\theta=-\sqrt{3}}$

　$0≦\theta<2\pi$ であるから　　$\displaystyle{\theta=\frac{2}{3}\pi，\frac{5}{3}\pi}$

まとめ

● 三角関数を含む方程式のキーワード

　$\sin$ は $y$ 座標
　$\cos$ は $x$ 座標
　$\tan$ は傾き