不等式を満たす領域

図形と方程式

方程式 … 文字が含まれる等式

例えば，$y=x$，$y=x^2$ など

方程式を満たす $x$ と $y$ の組合せを座標平面上にとると図形ができる

$y=x$ を満たすような $x$ と $y$ の組合せを座標で表すと

　$(0，0)$，$(1，1)$，$(2，2)$，$(-1，-1)$，$\cdots$

$x$ 座標と $y$ 座標が等しいような点が $y=x$ を満たすような点である

これらを図示すると，座標平面上に直線ができる

以上より，方程式 $y=x$ は座標平面上では直線を表す

不等式を満たす領域（直線）

不等式 $y<x+1$ について

$x=1$ のとき　$y<2$

すなわち　$x$ 座標を $1$ で固定すると

不等式 $y<x+1$ を満たす点は

$(1，1)$，$(1，0)$，$(1，-1)$，$(1，-2)$，…

$x=2$ のとき　$y<3$

すなわち　$x$ 座標を $2$ で固定すると

不等式 $y<x+1$ を満たす点は

$(2，2)$，$(2，1)$，$(2，0)$，$(2，-1)$，…

$x=3$ のとき　$y<4$

すなわち　$x$ 座標を $3$ で固定すると

不等式 $y<x+1$ を満たす点は

$(3，3)$，$(3，2)$，$(3，1)$，$(3，0)$，…

同様に，$x=0，-1，-2$ を考えると

不等式 $y<x+1$ を満たす点は

直線 $y=x+1$ より下側の部分にある

これを不等式の満たす　領域　という

したがって，不等式 $y<x+1$ の領域を図示すると

ただし，境界線（$y=x+1$）は含まない

　

逆に，不等式 $y>x+1$ を考えると

不等式 $y>x+1$ を満たす点は

直線 $y=x+1$ より上側の部分にある

したがって，不等式 $y>x+1$ の領域を図示すると

ただし，境界線（$y=x+1$）は含まない

補足

　不等式 $y ≦ ax+b$ は直線 $y=ax+b$ の下側の領域
　不等式 $y ≧ ax+b$ は直線 $y=ax+b$ の上側の領域
　ただし，境界線は含む

不等式 $x > 1$ を満たす点は

$x$ 座標が $1$ より大きいので

直線 $x=1$ より右側である

ただし，境界線は含まない

問題

(1)　$x-y-1>0$

　式変形すると　$y<x-1$

　求める領域は，直線 $y=x-1$ の下側

(2)　$3x+2y-4≧0$

　式変形すると　$\displaystyle{y≧-\frac{3}{2}x+2}$

　求める領域は，直線 $\displaystyle{y=-\frac{3}{2}x+2}$ の上側

(3)　不等式 $x+1≦0$

　式変形すると　$x≦-1$

　求める領域は，直線 $x=-1$ の左側

不等式を満たす領域（円）

直線と同様に考えると，

境界線は　$x^2+y^2=9$

すなわち　原点を中心とする半径 $3$ の円

不等式 $x^2+y^2<9$ を満たすような点は

$(0，0)$，$(1，0)$，$(0，1)$，$(1，1)$，
$(2，0)$，$(2，1)$，$(1，2)$，$(2，2)$，$\cdots$

不等式 $x^2+y^2<9$ を満たす点は

円 $x^2+y^2<9$ の内側の部分にある

したがって，不等式 $x^2+y^2<9$ の領域を図示すると

ただし，境界線（$x^2+y^2=9$）は含まない

　

逆に，不等式 $x^2+y^2>9$ を考えると

不等式 $x^2+y^2>9$ を満たす点は

円 $x^2+y^2=9$ の外側の部分にある

したがって，不等式 $x^2+y^2>9$ の領域を図示すると

ただし，境界線は含まない

補足

　不等式 $x^2+y^2 ≦ r^2$ は円 $x^2+y^2=r^2$ の内側の領域
　不等式 $x^2+y^2 ≧ r^2$ は円 $x^2+y^2=r^2$ の外側の領域
　ただし，境界線は含む

問題

(1)　$(x-1)^2+y^2 ≦ 1$

　求める領域は，円 $(x-1)^2+y^2=1$ の内側

(2)　$(x+1)^2+(y-1)^2>1$

　求める領域は，円 $(x+1)^2+(y-1)^2=1$ の外側

もしも忘れた場合

不等式 $y < x+1$ に $(0，0)$ を代入すると

　　$0 < 0+1$

となり，不等式が成り立つ

これより，原点は不等式を満たす領域に含まれていることがわかる

原点は直線 $y=x+1$ の下側の領域にあるので

不等式 $y < x+1$ は直線の下側である

まとめ

● 不等式を満たす領域（直線）

　不等式 $y < ax+b$ は直線 $y=ax+b$ の下側の領域
　不等式 $y > ax+b$ は直線 $y=ax+b$ の上側の領域
　ただし，境界線は含まない

● 不等式を満たす領域（円）

　不等式 $x^2+y^2 < r^2$ は円 $x^2+y^2=r^2$ の内側の領域
　不等式 $x^2+y^2 > r^2$ は円 $x^2+y^2=r^2$ の外側の領域
　ただし，境界線は含まない