二項定理の原理と使い方を式の展開の仕組みを例に超わかりやすく解説！

数学Ⅱで学ぶ『二項定理』の基本をわかりやすく解説します！

「二項定理は式が長くてわからない」
「Cが急に出てきて意味不明」

という高校生が多いです！

式の展開の仕組みを理解することで、二項定理の理解が深まり、問題を解くのが非常に楽になります！

この投稿では、二項定理の原理とその使い方を例を交えながら、わかりやすく解説します！

二項定理が苦手な人はぜひ参考にしてください！

今回の問題はこれ↓

問題

(1)　$(a+b)^5$ における $a^3b^2$ の係数を求めよ。
(2)　$(x+3)^6$ における $x^4$ の係数を求めよ。
(3)　$(x-2)^5$ における $x^2$ の係数を求めよ。
(4)　$(3x+2y)^6$ における $x^4y^2$ の係数を求めよ。

(1)　$(a+b)^5$ 　[$a^3b^2$]

　　$(a+b)^5$ の一般項は　$_5C _r a^{5-r}b^r$
　　$a^3b^2$ の項は $r=2$ のときなので　　$_5 C _2 a^3b^2=10a^3b^2$
　　よって、求める係数は　　$10$

　　【別解】『５つの (　) から $b$ がでてくる (　) を２つ選ぶ』ので、

(2)　$(x+3)^6$ 　[$x^4$]

　　$(x+3)^6$ の一般項は　$_6C _r x^{6-r}\cdot3^r$
　　$x^4$ の項は $r=2$ のときなので　　$_6 C _2 x^4\cdot3^2=135x^4$
　　よって、求める係数は　　$135$

　　【別解】『６つの (　) から $x$ がでてくる (　) を４つ選ぶ』
　　　　　　すなわち『６つの (　) から $3$ がでてくる (　) を２つ選ぶ』ので、

(3)　$(x-2)^5$ 　[$x^2$]

　　$(x-2)^5$ の一般項は　$_5C _r x^{5-r}(-2)^r$
　　$x^2$ の項は $r=3$ のときなので　　$_5 C _3 x^2(-2)^3=-80x^2$
　　よって、求める係数は　　$-80$

　　【別解】『５つの (　) から $x$ がでてくる (　) を２つ選ぶ』
　　　　　　すなわち『５つの (　) から $-2$ がでてくる (　) を３つ選ぶ』ので、

(4)　$(3x+2y)^6$ 　[$x^4y^2$]

　　$(3x+2y)^6$ の一般項は　$_6C _r (3x)^{6-r}(2y)^r$
　　$x^4y^2$ の項は $r=2$ のときなので　　$_6 C _2 (3x)^4(2y)^2=4860x^4y^2$
　　よって、求める係数は　　$4860$

　　【別解】『６つの (　) から $3x$ がでてくる (　) を４つ選ぶ』
　　　　　　すなわち『６つの (　) から $2y$ がでてくる (　) を２つ選ぶ』ので、

答えを見る

二項定理とは
なぜCが出てくるか
一般項と二項係数
問題
【補足】パスカルの三角形

二項定理とは

二項定理

\begin{eqnarray} (a+b)^n &=& _n C_0 a^n b^0+_n C_1 a^{n-1}b^1+_n C_2 a^{n-2}b^2+\cdots \\ & & +_n C_{n-r} a^{n-r}b^r+\cdots+_n C_{n-1} a^1b^{n-1}+_n C_n a^0 b^n \\ \end{eqnarray}

$\Longleftrightarrow$　$\displaystyle{(a+b)^n=\sum_{r=0}^n {_n C_r a^{n-r}b^r}}$

『二項定理』とは、２項の累乗の式 $(a+b)^n$ の展開の公式のことです。

『二項定理』を用いることで、２項の累乗の式、例えば $(a+b)^5$ という式の展開ができたり、各項の係数を求めたりすることができます。

なぜCが出てくるか

『二項定理』の最大の謎といってもよい「展開の公式になぜCが出てくるのか」について説明したいと思います。

展開した式にCがでてくる理由がわからない！

具体例を参考にして考えてみよう！

(a+b)² を例に

まずは例として、$(a+b)^2$ の展開を考えてみます。

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ は覚えていると思いますが、$(a+b)^2$ の展開は $(a+b)(a+b)$ と考えて分配法則を使うことで展開できます。

分配法則をもう少し丁寧に見てみると、『それぞれの (　) から１つずつ取り出してかける』という計算を行っています。

①１つ目の (　) から $a$、２つ目の (　) から $a$ をかけると $a^2$
②１つ目の (　) から $a$、２つ目の (　) から $b$ をかけると $ab$
③１つ目の (　) から $b$、２つ目の (　) から $a$ をかけると $ab$
④１つ目の (　) から $b$、２つ目の (　) から $b$ をかけると $b^2$

もちろん、$ab$ が同類項としてまとめることができるので $2ab$ となります。

$ab$ が２つ出てくる理由は、

『２つの (　) から $a$ が１つ、$b$ が１つ出てくるのが２通りあるから』です。

つまり、

『２つの (　) から $b$ がでてくる (　) を１つ選ぶ』
※ $a$ がでてくる (　) を選ぶでもよい

と考えることができるので $ab$ の係数である $2$ は $_2 C_1$ と表すことができます。

『(　) からでてくるものを選ぶ』からCが使われるんだね！

(a+b)³ を例に

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ についても、
以下のように $a^2b$ の係数である $3$ は $_3 C_1$ と考えることができます。

同様に、

$a^3$ の係数は『３つの (　) から $b$ がでてくる (　) を０つ選ぶ』ので、$_3 C_0$
$ab^2$ の係数は『３つの (　) から $b$ がでてくる (　) を２つ選ぶ』ので、$_3 C_2$
$b^3$ の係数は『３つの (　) から $b$ がでてくる (　) を３つ選ぶ』ので、$_3 C_3$

と考えることができます。

よって、

右にいくにつれて、
$a$ の次数を下げて $b$ の次数を上げる！

(a+b)⁴ を例に

\begin{eqnarray} (a+b)^4 &=& _4 C_0 a^4 b^0+_4 C_1 a^3 b^1+_4 C_2 a^2 b^2+_4 C_3 a^1 b^3+_4 C_4 a^0 b^4 \\\\ & = & a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{eqnarray}

　『４つの (　) から $b$ がでてくる (　) を０つ選ぶ』➡ $a^4b^0$ の係数は $_4 C_0$
　『４つの (　) から $b$ がでてくる (　) を１つ選ぶ』➡ $a^3b^1$ の係数は $_4 C_1$
　『４つの (　) から $b$ がでてくる (　) を２つ選ぶ』➡ $a^2b^2$ の係数は $_4 C_2$
　『４つの (　) から $b$ がでてくる (　) を３つ選ぶ』➡ $a^1b^3$ の係数は $_4 C_3$
　『４つの (　) から $b$ がでてくる (　) を４つ選ぶ』➡ $a^0b^4$ の係数は $_4 C_4$