集合
集合…範囲がはっきりしたものの集まり
要素…集合を構成しているひとつひとつ
例 $5$ 以下の自然数全体の集合 $A$
$A$ の要素は $1，2，3，4，5$
集合 $A$ を以下のように表す
$A=\{1，2，3，4，5\}$
$\{ \}$ の中に要素を書くと、その要素が集まった集合を表す
共通部分
\(A \cap B\) （$A$ かつ $B$）… $A$ と$B$ の共通部分
$A$ と $B$ の両方に属する集合
和集合
\(A \cup B\)（$A$ または $B$）… $A$ と $B$ の和集合
$A$ と $B$ の少なくとも一方に属する集合
補集合
\(\overline{A}\) … 集合 $A$ の補集合
$U$ は全体集合
詳しい解説はこれ↓
集合の要素の個数
$n(A)$ … 集合 $A$ の要素の個数
例 $5$ 以下の自然数全体の集合 $A$
$n(A)=5$（集合 $A$ の個数は $5$ 個）
$n( )$ の $n$ は「個数」という意味の「number」の頭文字と覚えておこう！
和集合の要素の個数
和集合 $A \cup B$ の要素の個数は以下のように表せる
$n(A)+n(B)$ だと共通部分である $n(A \cap B)$ を２回足していることになるから，$n(A \cap B)$ を引くんだね！
補集合の要素の個数
全体集合 $U$ の要素の個数から集合 $A$ の要素の個数を引く
集合の要素の個数の詳しい解説はこれ↓
倍数の個数
$A=\{3，6，9，……，48\}$
$=\{3・1，3・2，3・3，……，3・16\}$
よって $n(A)=16$
$3・□$ の形にすると，３の倍数の個数は数えやすいね！
問題
(1) $2$ の倍数 (2) $3$ の倍数
(3) $2$ の倍数でない数
(4) $2$ の倍数かつ $3$ の倍数
(5) $2$ の倍数または $3$ の倍数
(6) $2$ の倍数でも $3$ の倍数でもない数
$100$ 以下の自然数全体の集合を $U$ とし，
$U$ の部分集合で，$2$ の倍数全体の集合を $A$，
$3$ の倍数全体の集合を $B$ とする
(1) $2$ の倍数
$A=\{2，4，6，……，100\}$
$ =\{2・1，2・2，2・3，……，2・50\}$
よって $n(A)=50$
(2) $3$ の倍数
$B=\{3，6，9，……，99\}$
$ =\{3・1，3・2，3・3，……，3・33\}$
よって $n(B)=33$
(3) $2$ の倍数でない数
求めるのは $\overline{A}$ の要素の個数
$n(\overline{A})=n(U)-n(A)$
$ =100-50$
$ =50$
(4) $2$ の倍数かつ $3$ の倍数
求めるのは $A \cap B$ の要素の個数
$A \cap B$ は $6$ の倍数全体の集合だから
$A \cap B=\{6，12，18，……，96\}$
$ =\{6・1，6・2，6・3，……，6・16\}$
よって $n(A \cap B)=16$
(5) $2$ の倍数または $3$ の倍数
求めるのは $A \cup B$ の要素の個数
$n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)$
$ =50+33-16$
$ =67$
(6) $2$ の倍数でも $3$ の倍数でもない数
求めるのは $\overline{A \cup B}$ の要素の個数
$n(\overline{A \cup B})=n(U)-n(A \cup B)$
$ =100-67$
$ =33$
集合を使うといろいろな問題が解けるよ！
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