円と直線の位置関係とｄ,ｒの大小

円の中心 $(0，0)$ と直線 $3x-4y+5=0$ の距離 $d$ は

　　$\displaystyle{d=\frac{|3\cdot0-4\cdot0+5|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=1}$　　点と直線の距離

円と直線が接するとき，$d=r$ が成り立つので　　$r=1$

円の中心 $(0，0)$ と直線 $3x-4y+5=0$ の距離 $d$ は

　　$\displaystyle{d=\frac{|3\cdot0-4\cdot0+5|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=1}$

円と直線が２点で交わるとき，$d<r$ が成り立つので　　$r>1$

円の中心 $(0，0)$ と直線 $3x-4y+5=0$ の距離 $d$ は

　　$\displaystyle{d=\frac{|3\cdot0-4\cdot0+5|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=1}$

円と直線が交わらないとき，$d>r$ が成り立つので　　$0<r<1$

$3x-4y+5=0$ より　　$\displaystyle{y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}}$

$x^2+y^2=r^2$ に代入すると

　　　$\displaystyle{x^2+(\frac{3}{4}x+\frac{5}{4})^2=r^2}$

　　　$\displaystyle{x^2+\frac{9}{16}x^2+\frac{15}{8}x+\frac{25}{16}=r^2}$

　　　$\displaystyle{\frac{25}{16}x^2+\frac{15}{8}x+\frac{25}{16}-r^2=0}$

　　　$25x^2+30x-16r^2+25=0$

この２次方程式の判別式を $D$ とすると

　　$\displaystyle{\frac{D}{4}=15^2-25\cdot(-16r^2+25)}$

　　　　　$=400r^2-400$

円と直線が接するので，$D=0$ より

　　　$400r^2-400=0$

　　　　　　　$r^2=1$

　　　　　　　　$r=±1$

$r>0$ より　　　$r=1$