円の接線の長さ

円と直線の位置関係

[1] ２点で交わる

[2] 接する（１点で交わる）

[3] 交わらない

円と直線が接する

直線 $l$ を円 $O$ の接線

点 $A$ を接点　という

　

接線の長さ

円 $O$ には外部の点 $P$ から２本の接線が引ける

接点を $A$，$B$ とするとき，

線分 $PA$，$PB$ を　接線の長さ　という

接線の長さの性質を利用する問題

$BP=x$ とすると

$BR=x$

$AR=AQ=7-x$

$CP=CQ=8-x$

辺 $AC$ において

　$(7-x)+(8-x)=5$

　　　　　　$x=5$

よって　$BP=5$

まとめ

● 直線と円が接する

　$OA\perp l$

● 接線の長さの性質

　円の外部の点から引いた２本の接線の長さは等しい

　$PA=PB$

問題

(1)　$BP$ の長さを求めよ。

$BP=x$ とすると

$BR=x$

$AR=AQ=5-x$

$CP=CQ=3-x$

辺 $AC$ において

　$(5-x)+(3-x)=4$

　　　　　　$x=2$

よって　$BP=2$

　

(2)　内接円の半径を求めよ。

$AB^2=AC^2+BC^2$ が成り立つので

$\triangle ABC$ は $\angle C=90^\circ$ の直角三角形

内接円の中心を $I$ とすると

$IP\perp BC$，$IQ\perp AC$

$IP=IQ$ より

四角形 $IPCQ$ は正方形である

(1) より　$CP=1$ なので

内接円の半径は $1$