円の方程式

高校数学Ⅱで学ぶ『円の方程式』について解説！

「中心と半径が求まれば円の方程式が求まる」ということを学び、
円の方程式に関する基礎を固めましょう！

この投稿を見れば、『円の方程式』はバッチリ！

図形と方程式

方程式 … 文字が含まれる等式

例えば，$y=x$，$y=x^2$ など

方程式を満たす $x$ と $y$ の組合せを座標平面上にとると図形ができる

$y=x$ を満たすような $x$ と $y$ の組合せを座標で表すと

　$(0，0)$，$(1，1)$，$(2，2)$，$(-1，-1)$，$\cdots$

$x$ 座標と $y$ 座標が等しいような点が $y=x$ を満たすような点である

これらを図示すると，座標平面上に直線ができる

以上より，方程式 $y=x$ は座標平面上では直線を表す

円の方程式

円上の点 $\textrm{P}(x，y)$ とすると

点 $\textrm{P}$ が円周上のどこにあっても

　　$\textrm{CP}=r$　　となる

$\textrm{CP}$ は点と点の距離なので

　　$\textrm{CP}=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$

$\textrm{CP}=r$ より

　　$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r$

両辺を２乗して

　　$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

(1)　中心 $(1，-2)$，半径$3$ の円

　$(x-1)^2+\{y-(-2)\}^2=3^2$

　すなわち　　$(x-1)^2+(y+2)^2=9$

(2)　原点が中心，半径 $\sqrt{2}$ の円

　$x^2+y^2=(\sqrt{2})^2$

　すなわち　　$x^2+y^2=2$

円の方程式の決定

中心は線分 $\textrm{AB}$ の中点なので

　　$\displaystyle{\left(\frac{1+3}{2}，\frac{3+(-1)}{2}\right)}$

すなわち　　$(2，1)$

中心を点 $\textrm{C}$ とすると

半径は点 $\textrm{A}(1，3)$ と点 $\textrm{C}(2，1)$ の距離なので

　　$\sqrt{(2-1)^2+(1-3)^2}=\sqrt{5}$

したがって，求める円の方程式は

　　$(x-2)^2+(y-1)^2=(\sqrt{5})^2$

すなわち　　$(x-2)^2+(y-1)^2=5$

まとめ

● 円の方程式

　点 $(a，b)$ を中心とする半径 $r$ の円の方程式は

　　　　$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

　中心と半径が求まれば，円の方程式も求まる